《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,点$E$,$F为线段BD$的两个三等分点,四边形$AECF$是菱形.
(1)试判断四边形$ABCD$的形状,并加以证明；
(2)若菱形$AECF$的周长为20,$BD = 24$,试求四边形$ABCD$的面积.

答案：
(1)菱形；
(2)72。

10.如图,已知四边形$ABCD$是边长为4的菱形,$\angle BAD = 60^{\circ}$,对角线$AC$,$BD相交于点O$,过点$O的直线EF交AD于点E$,交$BC于点F$,当$\angle EOD = 30^{\circ}$时,$CE$的长是______$\sqrt{21}$.zyjl.cn/pic18/2025-09-10/aeef8fd1cba064b3778369c125db6dad.jpg?x-oss-process=image/crop,x_737,y_2231,w_191,h_370" data-title="">

答案： $\sqrt{21}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y = 3x - 6与x轴交于点C$,与$y轴交于点B$. 直线$l_{2}经过A$,$B$两点,点$A是x$轴正半轴上一点,且$OA = 6OC$.
(1)求直线$l_{2}$的表达式；
(2)点$P是直线l_{2}$上一动点,在坐标平面内有一点$Q$,当四边形$BPCQ$为菱形时,求出点$Q$的坐标.

答案： 1. （1）
对于直线$l_{1}:y = 3x - 6$：
令$y = 0$，则$3x-6 = 0$，解得$x = 2$，所以$C(2,0)$，$OC = 2$。
因为$OA = 6OC$，所以$OA=12$，则$A(12,0)$。
令$x = 0$，则$y=-6$，所以$B(0, - 6)$。
设直线$l_{2}$的表达式为$y = kx + b$，把$A(12,0)$，$B(0, - 6)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}12k + b = 0\\b=-6\end{cases}$。
将$b = - 6$代入$12k + b = 0$，得$12k-6 = 0$，即$12k=6$，解得$k=\frac{1}{2}$。
所以直线$l_{2}$的表达式为$y=\frac{1}{2}x - 6$。
2. （2）
设$P(m,\frac{1}{2}m - 6)$，已知$B(0, - 6)$，$C(2,0)$。
则$BP=\sqrt{(m - 0)^{2}+(\frac{1}{2}m-6 + 6)^{2}}=\sqrt{m^{2}+\frac{1}{4}m^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}m^{2}}=\frac{\vert m\vert\sqrt{5}}{2}$，$BC=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(0 + 6)^{2}}=\sqrt{4 + 36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
因为四边形$BPCQ$为菱形，所以$BP = BC$。
即$\frac{\vert m\vert\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{10}$，$\vert m\vert\sqrt{5}=4\sqrt{10}$，$\vert m\vert=\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{2}$，则$m=\pm4\sqrt{2}$。
当$m = 4\sqrt{2}$时：
$P(4\sqrt{2},2\sqrt{2}-6)$。
因为四边形$BPCQ$是菱形，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CQ}$，设$Q(x,y)$，$\overrightarrow{BP}=(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$，$\overrightarrow{CQ}=(x - 2,y)$。
则$x-2 = 4\sqrt{2}$，$y = 2\sqrt{2}$，解得$x = 4\sqrt{2}+2$，$y = 2\sqrt{2}$，$Q(4\sqrt{2}+2,2\sqrt{2})$。
当$m=-4\sqrt{2}$时：
$P(-4\sqrt{2},-2\sqrt{2}-6)$。
因为$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{BP}=(-4\sqrt{2},-2\sqrt{2})$，$\overrightarrow{CQ}=(x - 2,y)$。
则$x-2=-4\sqrt{2}$，$y=-2\sqrt{2}$，解得$x=-4\sqrt{2}+2$，$y=-2\sqrt{2}$，$Q(-4\sqrt{2}+2,-2\sqrt{2})$。
综上，（1）直线$l_{2}$的表达式为$y=\frac{1}{2}x - 6$；（2）点$Q$的坐标为$(4\sqrt{2}+2,2\sqrt{2})$或$(-4\sqrt{2}+2,-2\sqrt{2})$。