《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象交于点 $ A(2,3) $,$ C $,线段 $ AB $,$ CD $ 都垂直于 $ x $ 轴,$ BD = 4 $。
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 在第一象限内,根据图象直接写出当 $ x $ 取何值时,$ kx + b ＞ \frac{m}{x} $；
(3) 在直线 $ AC $ 上找一点 $ P $,连接 $ PB $,$ PD $,当 $ S_{\triangle PAB} = S_{\triangle PCD} $ 时,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1) 反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $，一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 4 $；
(2) $ 2 ＜ x ＜ 6 $；
(3) $ (3, \frac{5}{2}) $ 或 $ (0, 4) $

10. 如图,直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,$ C $ 为双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0,x ＞ 0) $ 上一点,连接 $ AC $,$ BC $,且 $ BC $ 交 $ x $ 轴于点 $ M $,$ \frac{BM}{CM} = \frac{3}{4} $,若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ \frac{19}{3} $,则 $ k $ 的值为-8。

答案： -8

11. 如图,直线 $ y = -2x + 2 $ 分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于点 $ A $,$ B $,以 $ AB $ 为边作正方形 $ ABCD $,点 $ E $ 在 $ CD $ 边上,且 $ CE = \frac{1}{5}CD $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $ 的图象过点 $ E $,求 $ k $ 的值。

答案： 1. 求点A、B坐标：
直线$y=-2x+2$与x轴交于A，令$y=0$，得$x=1$，则$A(1,0)$；与y轴交于B，令$x=0$，得$y=2$，则$B(0,2)$。
2. 求向量$\overrightarrow{AB}$及$BC$坐标：
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,2)$。设$C(x,y)$，则$\overrightarrow{BC}=(x,y-2)$。
由$AB\perp BC$，得$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$：$-x+2(y-2)=0\Rightarrow x=2y-4$。
由$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}$，得$x^2+(y-2)^2=5$。代入$x=2y-4$，解得$y=3$（$y=1$时$x=-2$，舍去），则$x=2$，故$C(2,3)$。
3. 求点D坐标：
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(2,1)$，则$D=A+\overrightarrow{AD}=(1+2,0+1)=(3,1)$。
4. 求点E坐标：
$CD$向量为$D-C=(1,-2)$，$CE=\frac{1}{5}CD$，则$E=C+\frac{1}{5}\overrightarrow{CD}=(2+\frac{1}{5},3-\frac{2}{5})=(\frac{11}{5},\frac{13}{5})$。
5. 求$k$值：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$E$，则$k=x_E\cdot y_E=\frac{11}{5}×\frac{13}{5}=\frac{143}{25}$。
$\frac{143}{25}$