《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知抛物线 $ y = x^{2} - x - 2 $。
(1) 若 $ P(m,-2) $ 是该抛物线上一点,求 $ m $ 的值；
(2) 点 $ M(x_{1},y_{1}) $,$ N(x_{2},y_{2}) $ 都在该抛物线上,若 $ x_{1} ＜ x_{2} ＜ \frac{1}{2} $,试比较 $ y_{1},y_{2} $ 的大小,并说明理由；
(3) 当 $ 0 \leq x ＜ 3 $ 时,直接写出 $ y $ 的取值范围。

答案：
(1) 因为点 $P(m, -2)$ 在抛物线 $y = x^2 - x - 2$ 上，所以
$-2 = m^2 - m - 2$
即
$m^2 - m = 0$
$m(m - 1) = 0$
解得
$m = 0 \quad 或 \quad m = 1$
(2) 抛物线的对称轴为
$x = \frac{-(-1)}{2 × 1} = \frac{1}{2}$
因为$a=1＞0$，所以当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，又因为$x_1＜x_2＜\frac{1}{2}$，所以$y_1＞y_2$。
(3) 抛物线的顶点坐标公式为
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 × 1} = \frac{1}{2}$
将$x=\frac{1}{2}$代入抛物线方程得
$y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{4} - 2 = -\frac{9}{4}$
当$x=0$时，$y=0^2-0-2=-2$；
当$x=3$时，$y=3^2-3-2=4$。
所以当$0\leq x＜3$时，$y$的取值范围为$-\frac{9}{4} \leq y ＜ 4$。

10. (1) 如图,分别过点 $ P_{i}(i,0)(i = 1,2,…,n) $ 作 $ x $ 轴的垂线,交函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象于点 $ A_{i} $,交直线 $ y = -\frac{1}{2}x $ 于点 $ B_{i} $,则 $ \frac{1}{A_{1}B_{1}} + \frac{1}{A_{2}B_{2}} + … + \frac{1}{A_{n}B_{n}} = $$\frac{2n}{n+1}$；(用含 $ n $ 的代数式表示)


(2) 如图,抛物线 $ C $ 的表达式为 $ y = -x^{2} + 4 $,将抛物线绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 45^{\circ} $ 得到图形 $ G $,图形 $ G $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴正半轴交于点 $ A,B $,连接 $ AB $,则 $ \triangle OAB $ 的面积为$\frac{9 - \sqrt{17}}{2}$。

答案：
(1) $\frac{2n}{n+1}$；
(2) $\frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

11. 如图,二次函数 $ y = -x^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $,直线 $ l $ 经过 $ B,C $ 两点。
(1) 求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2) 点 $ P $ 为直线 $ l $ 上的一点,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线与该二次函数的图象相交于点 $ M $,再过点 $ M $ 作 $ y $ 轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点 $ N $,当 $ PM = \frac{1}{2}MN $ 时,求点 $ P $ 的横坐标。

答案：
(1)
因为点$B(3,0)$，$C(0,3)$在二次函数$y = -x^{2} + bx + c$上，
所以$\begin{cases}-3^{2}+3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，
将$c = 3$代入$-3^{2}+3b + c = 0$，得$-9 + 3b + 3 = 0$，
$3b=6$，解得$b = 2$。
所以二次函数表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$，
将其化为顶点式：$y = -(x - 1)^{2} + 4$，
所以顶点坐标为$(1,4)$。
(2)
设直线$l$的表达式为$y = kx + d$，
把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k + d = 0\\d = 3\end{cases}$，
将$d = 3$代入$3k + d = 0$，得$3k+3 = 0$，解得$k = -1$。
所以直线$l$的表达式为$y = -x + 3$。
设$P(m,-m + 3)$，则$M(m,-m^{2} + 2m + 3)$。
$PM=\vert -m^{2} + 2m + 3 - (-m + 3)\vert=\vert -m^{2} + 3m\vert$，
$MN$中，$M$，$N$关于直线$x = 1$对称，$M$横坐标为$m$，则$N$横坐标为$2 - m$，
$MN = 2\vert m - 1\vert$。
因为$PM=\frac{1}{2}MN$，所以$\vert -m^{2} + 3m\vert=\frac{1}{2}×2\vert m - 1\vert$，
即$\vert -m^{2} + 3m\vert=\vert m - 1\vert$。
则有$-m^{2} + 3m = m - 1$或$-m^{2} + 3m = -(m - 1)$。
当$-m^{2} + 3m = m - 1$时，
$-m^{2}+3m - m + 1 = 0$，
$-m^{2}+2m + 1 = 0$，
$m^{2}-2m - 1 = 0$，
根据求根公式$m=\frac{2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
当$-m^{2} + 3m = -(m - 1)$时，
$-m^{2}+3m + m - 1 = 0$，
$-m^{2}+4m - 1 = 0$，
$m^{2}-4m + 1 = 0$，
根据求根公式$m=\frac{4\pm\sqrt{16 - 4}}{2}=2\pm\sqrt{3}$。
综上，点$P$的横坐标为$1+\sqrt{2}$或$1 - \sqrt{2}$或$2+\sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$。