《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,$B$,$D$,$E$三点在同一条直线上,求证：$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$.

答案： 证明：
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$（三边成比例的两个三角形相似）。
∴$\angle BAC=\angle DAE$（相似三角形对应角相等）。
∵$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，
∴$\angle BAD=\angle CAE$。
∵$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$（相似三角形对应边成比例）。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\angle BAD=\angle CAE$，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

10. 如图,在菱形$ABCD$中,$AC交BD于点O$,点$M为OB$的中点,连接$AM并延长交BC于点N$,若$AC= 12$,$BN= 2\sqrt{5}$,则$AN= $$8\sqrt{2}$.

答案： $8\sqrt{2}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y= 3x-6与x轴交于点C$,与$y轴交于点B$。直线$l_2经过A$,$B$两点,点$A是x$轴正半轴上一点,且$OA= 6OC$。
(1)求直线$l_2$的表达式；
(2)在直线$l_1上是否存在点M$,使以点$M和A$,$B$,$C三点中的某两点为顶点的三角形与\triangle ABC$相似(相似比不为1)？若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.
备用图

答案：
(1) $ y = \frac{1}{2}x - 6 $
(2) 存在，$ M(-3, -15) $或$ (9, 21) $