《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 某水坝的坡度 $ i = 1:\sqrt{3} $,坡长为 20 米,则水坝的高度为 (A)
A.10 米
B.20 米
C.40 米
D.$ 20\sqrt{3} $米

答案： A

2. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 6 $, $ BC = 2 $,那么下列各式正确的是 (A)
A.$ \tan A = \frac{1}{3} $
B.$ \tan A = 3 $
C.$ \sin A = \frac{1}{3} $
D.$ \cos A = \frac{1}{3} $

答案： A

3. 如果锐角 $ \alpha $ 的正弦值为 $ \frac{\sqrt{3}}{3} $,那么下列结论正确的是 (C)
A.$ \alpha = 30^{\circ} $
B.$ \alpha = 45^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ} $

答案： C

4. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 4 $, $ BC = 3 $, $ CD \perp AB $ 于 $ D $,则 $ \sin \angle BCD = $$\frac{3}{5}$.

答案： $\frac{3}{5}$

5. 如图,在教学楼走廊上有一拖把以 $ 45^{\circ} $ 的倾斜角斜靠在栏杆上,影响了同学们的行走,小明自觉地将拖把从点 $ A $ 挪动到了点 $ A' $ 的位置,使其倾斜角变为 $ 60^{\circ} $. 若拖把的长为 2 米,则行走的通道拓宽了$\sqrt{2}-1$米. (结果保留根号)

答案： $\sqrt{2}-1$

6. 如果方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的两个根分别是 $ Rt \triangle ABC $ 的两条边的长度, $ \triangle ABC $ 最小的角为 $ \angle A $,那么 $ \tan A $ 的值为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

7. 计算：
(1) $ 2\cos 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} - \sqrt{(1 - \tan 30^{\circ})^{2}} + (-1)^{2026} $；
(2) $ (-2026 - \sqrt{3})^{0} + (-\frac{1}{2})^{-1} + |1 - \sqrt{3}| - 8\sin 60^{\circ} + \sqrt{27} $.

答案：
(1)
$2\cos 60^{\circ} = 2 × \frac{1}{2} = 1$
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\sqrt{(1 - \tan 30^{\circ})^{2}} = \sqrt{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}的绝对值 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}（因为$1 ＞\frac{\sqrt{3}}{3}$）$
$(-1)^{2026} = 1$ （因为$-1$的偶数次方等于$1$）
所以，
$2\cos 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} - \sqrt{(1 - \tan 30^{\circ})^{2}} + (-1)^{2026}$
$= 1 - 1 - ( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1$
$= \frac{\sqrt{3}}{3} $
(2)
$(-2026 - \sqrt{3})^{0} = 1$ （任何非零数的$0$次方等于$1$）
$(-\frac{1}{2})^{-1} = -2$ （负数的负一次方等于其倒数的相反数）
$|1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} -1$（因为$\sqrt{3} ＞ 1$，所以$1 - \sqrt{3}$是负数，其绝对值为$\sqrt{3} - 1$）
$8\sin 60^{\circ} = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
所以，
$(-2026 - \sqrt{3})^{0} + (-\frac{1}{2})^{-1} + |1 - \sqrt{3}| - 8\sin 60^{\circ} + \sqrt{27}$
$= 1 - 2 + (\sqrt{3} - 1) - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$= 1 - 2 + \sqrt{3} - 1 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$= -2$

8. 如图,小亮利用所学的知识对大厦的高度 $ CD $ 进行测量,他在自家楼顶 $ B $ 处测得大厦底部的俯角是 $ 30^{\circ} $,测得大厦顶部的仰角是 $ 37^{\circ} $,已知他家楼顶 $ B $ 处距地面的高度 $ BA = 40 $ 米. (点 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 均在同一平面内)
(1) 求两楼之间的距离 $ AC $；(结果保留根号)
(2) 求大厦的高度 $ CD $. (结果精确到 1 米,参考数据： $ \sin 37^{\circ} \approx 0.60 $, $ \cos 37^{\circ} \approx 0.80 $, $ \tan 37^{\circ} \approx 0.75 $, $ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

答案：
(1) 过点B作BE⊥CD于点E，由题意得，四边形ABCE为矩形，
∴BE=AC，EC=BA=40米。
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，tan∠CBE=EC/BE，即tan30°=40/AC。
∵tan30°=√3/3，
∴√3/3=40/AC，解得AC=40√3米。
(2) 在Rt△BED中，∠DBE=37°，tan∠DBE=DE/BE，即DE=BE·tan37°。
∵BE=AC=40√3米，tan37°≈0.75，√3≈1.73，
∴DE≈40×1.73×0.75≈51.9米。
∴CD=CE+DE=40+51.9≈92米。
(1) 40√3米；
(2) 92米。