《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

10. (1)已知 $ m ＞ n ＞ 0 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + 2x - 3 - m = 0 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $($ x_{1} ＜ x_{2} $),关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + 2x - 3 - n = 0 $ 的两个根为 $ x_{3},x_{4} $($ x_{3} ＜ x_{4} $),则 $ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} $ 的大小关系是______$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$；
(2)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} - \frac{3}{2}x + 4 $ 的图象交 $ x $ 轴于 $ A,B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $。将直线 $ AC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到直线 $ AE $,且 $ \angle AEC + \angle CAB = 90^{\circ} $,则 $ CE = $______$5\sqrt{3}$。

答案：
(1)$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$；
(2)$5\sqrt{3}$

11. 如图,已知二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于 $ B,C $ 两点,其对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ D $,连接 $ AC,AB $。
(1)点 $ A $ 的坐标为(0,4),点 $ C $ 的坐标为(8,0)；
(2)$ \triangle ABC $ 是直角三角形吗？若是,请给予证明；若不是,请说明理由；
是直角三角形。证明：A(0,4), B(-2,0), C(8,0)。
AB²=(0+2)²+(4-0)²=4+16=20，AC²=(0-8)²+(4-0)²=64+16=80，BC²=(8+2)²=100。
∵AB²+AC²=20+80=100=BC²，∴△ABC是直角三角形。
(3)线段 $ AC $ 上是否存在点 $ E $,使得 $ \triangle EDC $ 为等腰三角形？若存在,求出所有符合条件的点 $ E $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
存在。
直线AC：y=-1/2x+4，设E(t,-1/2t+4)(0≤t≤8)，D(3,0), C(8,0), DC=5。
①ED=EC：(t-3)²+(-1/2t+4)²=(t-8)²+(-1/2t+4)²
解得t=11/2，E(11/2,5/4)
②DE=DC：(t-3)²+(-1/2t+4)²=25
解得t=0(t=8舍去)，E(0,4)
③CE=CD：(t-8)²+(-1/2t+4)²=25
解得t=8-2√5(t=8+2√5舍去)，E(8-2√5,√5)
综上，E(0,4)，(11/2,5/4)，(8-2√5,√5)

答案：
(1) (0,4); (8,0)
(2) 是直角三角形。证明：A(0,4), B(-2,0), C(8,0)。
AB²=(0+2)²+(4-0)²=4+16=20，AC²=(0-8)²+(4-0)²=64+16=80，BC²=(8+2)²=100。
∵AB²+AC²=20+80=100=BC²，
∴△ABC是直角三角形。
(3) 存在。
直线AC：y=-1/2x+4，设E(t,-1/2t+4)(0≤t≤8)，D(3,0), C(8,0), DC=5。
①ED=EC：(t-3)²+(-1/2t+4)²=(t-8)²+(-1/2t+4)²
解得t=11/2，E(11/2,5/4)
②DE=DC：(t-3)²+(-1/2t+4)²=25
解得t=0(t=8舍去)，E(0,4)
③CE=CD：(t-8)²+(-1/2t+4)²=25
解得t=8-2√5(t=8+2√5舍去)，E(8-2√5,√5)
综上，E(0,4)，(11/2,5/4)，(8-2√5,√5)