《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ AB = 8 $,则 $ BC $ 的长是 (D)
A.$ \dfrac{4\sqrt{3}}{3} $
B.$ 4 $
C.$ 8\sqrt{3} $
D.$ 4\sqrt{3} $

答案： D

2. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 2\sqrt{7} $,$ AC = \sqrt{21} $,则 $ \angle A $ 的度数为 (D)
A.$ 75^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $

答案： D

3. 如图,为测楼房 $ BC $ 的高,在距楼房 $ 30 $ 米的 $ A $ 处,测得楼顶 $ B $ 的仰角为 $ \alpha $,则楼房 $ BC $ 的高为 (A)

A.$ 30\tan\alpha $ 米
B.$ \dfrac{30}{\tan\alpha} $ 米
C.$ 30\sin\alpha $ 米
D.$ \dfrac{30}{\sin\alpha} $ 米

答案： A

4. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,若 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $,且 $ BD = 4 $,$ AD = 9 $,则 $ \tan A = $$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$

5. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,连接 $ CD $。若 $ BD = CD $,$ \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{1}{3} $,则 $ \tan B = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

6. 已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,直角边 $ AC $ 的中点为 $ D $,点 $ E $ 在斜边上且 $ AE = 3 $,若 $ \triangle ADE $ 为直角三角形,则 $ BC $ 的长为______3或4.

答案： 3或4

7. 根据下列条件解直角三角形,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $,$ b $,$ c $。
(1) $ c = 20 $,$ \angle A = 45^{\circ} $；
(2) $ a = 36 $,$ \angle B = 30^{\circ} $；
(3) $ b = \sqrt{2} $,$ a = \sqrt{6} $。

答案：
(1)
$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$
由于$\angle A = \angle B$，所以$a = b$
利用正弦函数：$\sin A = \frac{a}{c}$
得：$a = c \cdot \sin A = 20 \cdot \sin 45^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$
所以，$a = b = 10\sqrt{2}$
(2)
$\angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$
利用正切函数：$\tan B = \frac{b}{a}$
得：$b = a \cdot \tan B = 36 \cdot \tan 30^{\circ} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$
再利用余弦函数：$\cos B = \frac{a}{c}$
得：$c = \frac{a}{\cos B} = \frac{36}{\cos 30^{\circ}} = \frac{36}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24\sqrt{3}$
所以，$b = 12\sqrt{3}$，$c = 24\sqrt{3}$
(3)
利用正切函数：$\tan A = \frac{a}{b}$
得：$\tan A = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
所以，$\angle A = 60^{\circ}$
$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
再利用勾股定理：$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(\sqrt{6})^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
所以，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$c = 2\sqrt{2}$

8. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \tan A = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $,$ \angle ABC $ 的平分线 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,$ CD = \sqrt{3} $,求 $ AB $ 的长。

答案： 6