《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,二次函数 $ y = -x^{2} - 2x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ D $ 在二次函数的图象上,且与点 $ C $ 关于二次函数图象的对称轴对称,一次函数的图象过点 $ B $,$ D $。
(1) 求点 $ D $ 的坐标；
(2) 求一次函数的表达式；
(3) 根据图象写出当一次函数值大于二次函数值时,$ x $ 的取值范围。

答案：
(1) 对于二次函数$y = -x^2 - 2x + 3$，与$y$轴交点$C$的横坐标为$0$，代入得$y = 3$，故$C(0, 3)$。对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×(-1)} = -1$。点$C(0, 3)$关于对称轴$x = -1$对称，设$D(x, 3)$，则$\frac{0 + x}{2} = -1$，解得$x = -2$，故$D(-2, 3)$。
(2) 二次函数与$x$轴交于$B$点，令$y = 0$，即$-x^2 - 2x + 3 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$，故$B(1, 0)$。设过$B(1, 0)$、$D(-2, 3)$的一次函数为$y = kx + b$，代入得$\begin{cases}k + b = 0 \\ -2k + b = 3\end{cases}$，解得$k = -1$，$b = 1$，故一次函数表达式为$y = -x + 1$。
(3) 一次函数值大于二次函数值，即$-x + 1 ＞ -x^2 - 2x + 3$，整理得$x^2 + x - 2 ＞ 0$，因式分解$(x + 2)(x - 1) ＞ 0$，解得$x ＜ -2$或$x ＞ 1$。
(1) $(-2, 3)$
(2) $y = -x + 1$
(3) $x ＜ -2$或$x ＞ 1$

10. (1) 已知直线 $ y_{1} = ax - 4a $ 经过抛物线 $ y_{2} = bx^{2} - 4bx $ 的顶点,且当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y_{1} ＞ y_{2} $,则当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时,$ x $ 的取值范围是$ 2 ＜ x ＜ 4 $；
(2) 如图,二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象经过点 $ A(1,0) $ 且与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 和点 $ C $ 关于该二次函数图象的对称轴对称,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ A $,$ B $,则不等式 $ kx + b \geqslant x^{2} - 4x + 3 $ 的解集为$ 1 \leq x \leq 4 $。

答案：
(1) $ 2 ＜ x ＜ 4 $；
(2) $ 1 \leq x \leq 4 $

11. 已知抛物线 $ y = (m - 1)x^{2} - 2mx + m + 1(m ＞ 1) $。
(1) 求抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 若抛物线与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 $ 2 $,求 $ m $ 的值；
(3) 若一次函数 $ y = kx - k $ 的图象与抛物线始终只有一个公共点,求一次函数的表达式。

答案：
(1) 令 $y = 0$，则 $(m - 1)x^{2} - 2mx + m + 1 = 0$。
利用求根公式，因式分解得：$((m - 1)x - (m + 1))(x - 1) = 0$，
解得 $x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{m + 1}{m - 1}$。
所以，抛物线与$x$轴的交点坐标为 $(1, 0)$ 和 $\left(\frac{m + 1}{m - 1}, 0\right)$。
(2) 根据题意，两个交点之间的距离为2，
即 $\left|1 - \frac{m + 1}{m - 1}\right| = 2$。
解这个方程，得到：
$1 - \frac{m + 1}{m - 1} = 2$ 或 $1 - \frac{m + 1}{m - 1} = -2$，
解得 $m = 2$或$m = 0$，
由于 $m ＞ 1$，所以 $m = 2$。
(3) 联立一次函数 $y = kx - k$ 和抛物线 $y = (m - 1)x^{2} - 2mx + m + 1$，
得到方程 $(m - 1)x^{2} - (2m + k)x + m + 1 + k = 0$。
由于一次函数与抛物线始终只有一个公共点，
所以该方程有且仅有一个解，
即判别式 $\Delta = 0$。
解这个方程，得到：
$(2m+k)^2-4(m-1)(m+1+k)=0$，
$4m^2+4mk+k^2-4(m^2-1+mk-k)=0$，
$4m^2+4mk+k^2-4m^2+4-4mk+4k=0$，
$k^2+4k+4=0$，
$(k+2)^2=0$，
解得$k = -2$。
所以，一次函数的表达式为 $y = -2x + 2$。