《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若$\triangle ABC的两边AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC的长为5$,当$\triangle ABC$是等腰三角形时,求$k$的值。

答案：
(1) 证明：
对于方程 $x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$，
其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
$= (2k + 1)^{2} - 4(k^{2} + k)$
$= 4k^{2} + 4k + 1 - 4k^{2} - 4k$
$= 1$
由于 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
方程 $x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$ 可以因式分解为：
$(x - k)(x - k - 1) = 0$
从中得到两个根：
$x_{1} = k$
$x_{2} = k + 1$
不妨设 $AB = k$，$AC = k + 1$。
当 $AB = BC$ 时，即 $k = 5$，此时 $AC = 6$，满足三角形的三边关系。
当 $AC = BC$ 时，即 $k + 1 = 5$，解得 $k = 4$，此时 $AB = 4$，也满足三角形的三边关系。
所以，$k$ 的值为 $4$ 或 $5$。

10. 已知关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}-3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,且关于$x的不等式组\begin{cases}\frac{x - m}{2}\lt0 \\x + 4\gt3(x + 2)\end{cases} 的解集是x\lt - 1$,则所有符合条件的整数$m$的个数是______4。

答案： 4

11. 已知一次函数的图象经过$A(2,8)$,$B(0,4)$两点。
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 在$x轴上是否存在一点P$,使得$\triangle AOP$是等腰三角形？如果存在,请求出点$P$的坐标；如果不存在,请说明理由。

答案：
(1)设一次函数表达式为$y=kx+b$，
将$B(0,4)$代入得$b=4$，
将$A(2,8)$代入$y=kx+4$，得$8=2k+4$，解得$k=2$，
∴一次函数表达式为$y=2x+4$。
(2)存在。设$P(p,0)$，$O(0,0)$，$A(2,8)$，
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
情况1：$OA=OP$
$OP=|p|=2\sqrt{17}$，
∴$p=\pm2\sqrt{17}$，
$P(2\sqrt{17},0)$或$(-2\sqrt{17},0)$。
情况2：$OA=AP$
$AP=\sqrt{(p-2)^2+(0-8)^2}=2\sqrt{17}$，
平方得$(p-2)^2+64=68$，$(p-2)^2=4$，
$p-2=\pm2$，$p=4$或$p=0$（$p=0$与$O$重合，舍去），
$P(4,0)$。
情况3：$OP=AP$
$|p|=\sqrt{(p-2)^2+64}$，平方得$p^2=(p-2)^2+64$，
$p^2=p^2-4p+4+64$，$4p=68$，$p=17$，
$P(17,0)$。
综上，$P$的坐标为$(2\sqrt{17},0)$，$(-2\sqrt{17},0)$，$(4,0)$，$(17,0)$。