《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 用配方法解方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 时,配方结果正确的是(A)
A.$ (x + 1)^{2}= 2 $
B.$ (x - 1)^{2}= 2 $
C.$ (x + 2)^{2}= 3 $
D.$ (x + 1)^{2}= 3 $

答案： A

2. 用配方法解一元二次方程 $ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $,配方正确的是(C)
A.$ (x - \frac{3}{2})^{2}= \frac{13}{4} $
B.$ (x - \frac{3}{4})^{2}= \frac{1}{2} $
C.$ (x - \frac{3}{4})^{2}= \frac{17}{16} $
D.$ (x - \frac{3}{2})^{2}= \frac{11}{4} $

答案： C

3. 把方程 $ \frac{1}{2}x^{2}-3x - 5 = 0 $ 化成 $ (x + m)^{2}= n $ 的形式正确的是(C)
A.$ (x - \frac{3}{2})^{2}= 19 $
B.$ (x - \frac{3}{2})^{2}= \frac{19}{4} $
C.$ (x - 3)^{2}= 19 $
D.$ (x - 3)^{2}= \frac{19}{2} $

答案： C

4. 把方程 $ 5x^{2}-10x - 15 = 0 $ 化为二次项系数为1的方程是$x^{2}-2x - 3 = 0$,再把左边配成完全平方式,所得方程为$(x - 1)^{2}=4$。

答案： $x^{2}-2x - 3 = 0$；$(x - 1)^{2}=4$

5. 已知 $ 4x^{2}+4(m - 1)x + 9 = (2x + n)^{2} $,则 $ m $ 的值为4或-2。

答案： 4或-2（若以选项形式，假设选项为A: 4, B: -2, C: 其他, 则答案为AB）

6. 代数式 $ -2x^{2}-4x - 1 $ 的最大值为1。

答案： 最大值为$1$

7. 用配方法解下列方程：
(1) $ 2x^{2}+4x = 8 $；
(2) $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $；
(3) $ 2x^{2}+2x - 6 = 0 $；
(4) $ 2t^{2}-7t - 4 = 0 $。

答案：
(1) 解：
原方程为 $2x^{2} + 4x = 8$。
移项得 $2x^{2} + 4x - 8 = 0$。
两边同时除以2，得 $x^{2} + 2x - 4 = 0$。
配方，得 $x^{2} + 2x + 1 = 5$，即 $(x + 1)^{2} = 5$。
开方得 $x + 1 = \pm \sqrt{5}$。
解得 $x_{1} = - 1 + \sqrt{5}$，$x_{2} = - 1 - \sqrt{5}$。
(2) 解：
原方程为 $2x^{2} - 4x - 1 = 0$。
移项得 $2x^{2} - 4x = 1$。
两边同时除以2，得 $x^{2} - 2x = \frac{1}{2}$。
配方，得 $x^{2} - 2x + 1 = \frac{3}{2}$，即 $(x - 1)^{2} = \frac{3}{2}$。
开方得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。
解得 $x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(3) 解：
原方程为 $2x^{2} + 2x - 6 = 0$。
移项得 $2x^{2} + 2x = 6$。
两边同时除以2，得 $x^{2} + x = 3$。
配方，得 $x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$，即 $(x + \frac{1}{2})^{2} = \frac{13}{4}$。
开方得 $x + \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$。
解得 $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$，$x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}$。
(4) 解：
原方程为 $2t^{2} - 7t - 4 = 0$。
移项得 $2t^{2} - 7t = 4$。
两边同时除以2，得 $t^{2} - \frac{7}{2}t = 2$。
配方，得 $t^{2} - \frac{7}{2}t + \frac{49}{16} = \frac{81}{16}$，即 $(t - \frac{7}{4})^{2} = \frac{81}{16}$。
开方得 $t - \frac{7}{4} = \pm \frac{9}{4}$。
解得 $t_{1} = 4$，$t_{2} = - \frac{1}{2}$。

8. 用配方法解下列方程：
(1) $ \sqrt{2}x - 2 = 2x^{2} $；
(2) $ \frac{1}{4}x^{2}-4x + \frac{15}{4} = 0 $；
(3) $ 2x(x - 3) = 7x - 6 $；
(4) $ 2x(x - 1) = 3x - 2 $。

答案：
(1) 解：
原方程为：$\sqrt{2}x - 2 = 2x^{2}$
移项得：$2x^{2} - \sqrt{2}x + 2 = 0$
两边同时除以2得：$x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 = 0$
配方：$x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2} = - 1 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}$
即：$\left(x - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2} = - \frac{7}{8}$
由于平方数不能为负数，所以原方程无实数解。
(2) 解：
原方程为：$\frac{1}{4}x^{2} - 4x + \frac{15}{4} = 0$
移项并乘以4得：$x^{2} - 16x + 15 = 0$
配方：$x^{2} - 16x + 64 = 64 - 15$
即：$(x - 8)^{2} = 49$
解得：$x - 8 = \pm 7$
所以：$x_{1} = 15, x_{2} = 1$
(3) 解：
原方程为：$2x(x - 3) = 7x - 6$
展开并整理得：$2x^{2} - 6x - 7x + 6 = 0$
即：$2x^{2} - 13x + 6 = 0$
两边同时除以2得：$x^{2} - \frac{13}{2}x + 3 = 0$
移项得：$x^{2} - \frac{13}{2}x = -3$
配方：$x^{2} - \frac{13}{2}x + \left(\frac{13}{4}\right)^{2} = - 3 + \left(\frac{13}{4}\right)^{2}$
即：$\left(x - \frac{13}{4}\right)^{2} = \frac{121}{16}$
解得：$x - \frac{13}{4} = \pm \frac{11}{4}$
所以：$x_{1} = 6, x_{2} = \frac{1}{2}$
(4) 解：
原方程为：$2x(x - 1) = 3x - 2$
展开并整理得：$2x^{2} - 2x - 3x + 2 = 0$
即：$2x^{2} - 5x + 2 = 0$
两边同时除以2得：$x^{2} - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
移项得：$x^{2} - \frac{5}{2}x = -1$
配方：$x^{2} - \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^{2} = - 1 + \left(\frac{5}{4}\right)^{2}$
即：$\left(x - \frac{5}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}$
解得：$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
所以：$x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$