《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,$□ OABC$ 中,$ AB = 2 $,$ OA = 2\sqrt{5} $,它的边 $ OC $ 在 $ x $ 轴的负半轴上,对角线 $ OB $ 在 $ y $ 轴的正半轴上。反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象经过点 $ A $,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过 $ A $,$ C $ 两点且与反比例函数图象的另一支交于点 $ D $。
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接 $ BD $,求 $ \triangle BDC $ 的面积。

答案：
(1) 因为四边形OABC是平行四边形，所以AB=OC，已知AB=2，故OC=2。又OC在x轴负半轴，所以点C坐标为(-2,0)。设点A坐标为(x,y)，由于OA=2√5，所以x²+y²=(2√5)²=20。又向量AB=向量OC，AB=(0-x,b-y)，OC=(-2,0)，可得-x=-2，y=b，即x=2，点B坐标为(0,y)。将x=2代入x²+y²=20，得4+y²=20，y=4（y＞0），故A(2,4)。反比例函数y=m/x过A(2,4)，则4=m/2，m=8，反比例函数为y=8/x。一次函数过A(2,4)和C(-2,0)，代入得{4=2k+b,0=-2k+b}，解得k=1,b=2，一次函数为y=x+2。
(2) 联立y=x+2与y=8/x，得x+2=8/x，x²+2x-8=0，解得x=2或x=-4，故D(-4,-2)。点B(0,4)、D(-4,-2)、C(-2,0)，用面积公式：S=1/2|0×(-2-0)+(-4)×(0-4)+(-2)×(4+2)|=1/2|0+16-12|=2。
(1) 反比例函数表达式：y=8/x；一次函数表达式：y=x+2。
(2) △BDC的面积：2。

10. (1) 如图,已知直线 $ y = x + 4 $ 与双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 相交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于 $ D $,$ C $ 两点,若 $ AB = 2\sqrt{2} $,则 $ k = $______$-3$；
(2) 若反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 和一次函数 $ y = -x + a - 1(a $ 为常数) 的图象有且只有一个交点,则实数 $ a $ 的值是$1\pm2\sqrt{3}$。

答案：
(1)$-3$；
(2)$1\pm2\sqrt{3}$

11. 如图,正比例函数 $ y = -3x $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于 $ A $,$ B(1,m) $ 两点,点 $ C $ 在 $ x $ 轴负半轴上,$ \angle ACO = 45^{\circ} $。
(1) $ m = $-3,$ k = $-3,点 $ A $ 的坐标为(-1,3),点 $ C $ 的坐标为(-4,0)；
(2) 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,若 $ \triangle BOP $ 与 $ \triangle AOC $ 相似,求点 $ P $ 的坐标。

点P的坐标为(4,0)或(5/2,0)

答案：
(1) 把点$ B(1,m) $代入$ y=-3x $，得$ m=-3×1=-3 $，则$ B(1,-3) $。
将$ B(1,-3) $代入$ y=\frac{k}{x} $，得$ -3=\frac{k}{1} $，解得$ k=-3 $。
联立$ \begin{cases} y=-3x \\ y=-\frac{3}{x} \end{cases} $，解得$ x=1 $或$ x=-1 $，当$ x=-1 $时，$ y=3 $，故$ A(-1,3) $。
设$ C(c,0)(c＜0) $，过$ A $作$ AD\perp x $轴于$ D(-1,0) $，则$ AD=3 $，$ CD=-1 - c $。
在$ \triangle ADC $中，$ \tan\angle ACO=\frac{AD}{CD}=1 $（$ \angle ACO=45^\circ $），即$ \frac{3}{-1 - c}=1 $，解得$ c=-4 $，故$ C(-4,0) $。
(2) 设$ P(p,0) $，$ A(-1,3) $，$ C(-4,0) $，$ B(1,-3) $，$ O(0,0) $。
$ AO=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10} $，$ OC=4 $，$ AC=3\sqrt{2} $，$ BO=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10} $。
情况1：$ \triangle AOC\sim\triangle BOP $
$ \frac{AO}{BO}=\frac{OC}{OP}=1 $，$ OP=OC=4 $，$ P(4,0) $。
情况2：$ \triangle AOC\sim\triangle POB $
$ \frac{AO}{PO}=\frac{OC}{OB} $，即$ \frac{\sqrt{10}}{|p|}=\frac{4}{\sqrt{10}} $，解得$ |p|=\frac{5}{2} $，$ p=\frac{5}{2} $（$ p=-\frac{5}{2} $舍去），$ P\left(\frac{5}{2},0\right) $。
综上，$ P(4,0) $或$ \left(\frac{5}{2},0\right) $。
(1) $ m=-3 $，$ k=-3 $，$ A(-1,3) $，$ C(-4,0) $；
(2) $ P(4,0) $或$ \left(\frac{5}{2},0\right) $。