《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线 $ y = - 2 x ^ { 2 } + 1 $ 的对称轴是 (D)
A.直线 $ x = \frac { 1 } { 2 } $
B.直线 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $
C.直线 $ x = 2 $
D.$ y $ 轴

答案： D

2. 关于二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } + 3 $ 的图象,下列说法正确的是 (B)
A.它的开口方向是向下
B.当 $ x ＜ - 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.它的顶点坐标是 $ ( 2, 3 ) $
D.当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值为 $ 3 $

答案： B

3. 同一坐标系中,一次函数 $ y = a x + 1 $ 与二次函数 $ y = x ^ { 2 } + a $ 的图象可能是 (C)

答案： C

4. 已知点 $ A ( - 1, y _ { 1 } ) $,$ B ( - 3, y _ { 2 } ) $ 都在二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - 1 $ 的图象上,则 $ y _ { 1 } $ ＜ $ y _ { 2 } $.(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)

答案： ＜

5. 抛物线 $ y = - 2 x ^ { 2 } - 3 $ 的开口向下,对称轴是$y$ 轴（或 $x = 0$）,顶点坐标是$(0, -3)$,当 $ x $＜$ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $＞$ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 开口向下；对称轴是 $y$ 轴（或 $x = 0$）；顶点坐标是 $(0, -3)$；当 $x ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

6. 若将抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } $ 向下平移 $ 1 $ 个单位,则所得的抛物线的表达式为 ____$y = 2x^2 - 1$.

答案： $y = 2x^2 - 1$

7. 画出二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + 3 $ 的图象.

答案： 1. 确定函数表达式：$y = -x^2 + 3$。
2. 确定开口方向：由于二次项系数为负，抛物线开口向下。
3. 确定顶点坐标：顶点为$(0, 3)$。
4. 确定对称轴：对称轴为$x = 0$（即$y$轴）。
5. 选取几个$x$值，计算对应的$y$值：
$\begin{aligned}当x = -2, y = -(-2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1, \\n当x = -1, y = -(-1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2, \\n当x = 0, y = -(0)^2 + 3 = 3, \\n当x = 1, y = -(1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2, \\n当x = 2, y = -(2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1.\end{aligned}$
6. 列表：
$\begin{array}{c|c}x & y \\n\hline-2 & -1 \\n-1 & 2 \\n0 & 3 \\n1 & 2 \\n2 & -1\end{array}$
7. 描点：在坐标系中描出点$(-2, -1)$，$(-1, 2)$，$(0, 3)$，$(1, 2)$，$(2, -1)$。
8. 连线：用平滑曲线连接各点，得到抛物线$y = -x^2 + 3$的图象。

8. 已知正比例函数 $ y = 2 x $ 的图象和抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 3 $ 相交于点 $ ( 2, b ) $.
(1) 求 $ a $,$ b $ 的值；
(2) 若函数 $ y = 2 x $ 的图象上纵坐标为 $ 2 $ 的点为 $ A $,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 3 $ 的顶点为 $ B $,求 $ S _ { \triangle A O B } $ 的值.

答案：
(1) 因为点$(2,b)$在正比例函数$y=2x$的图象上，所以将$x=2$代入$y=2x$，得$b=2×2=4$。
又因为点$(2,4)$在抛物线$y=ax^2 + 3$上，所以将$x=2$，$y=4$代入抛物线方程，得$4=a×2^2 + 3$，即$4=4a + 3$，解得$4a=1$，$a=\frac{1}{4}$。
(2) 在函数$y=2x$中，令$y=2$，则$2=2x$，解得$x=1$，所以点$A$的坐标为$(1,2)$。
抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 + 3$的顶点$B$的坐标为$(0,3)$。
$O$为坐标原点，所以$OA$在第一象限，$OB$在$y$轴正半轴。
以$OB$为底边，$OB$的长度为$3$，点$A$到$y$轴的距离为点$A$的横坐标的绝对值，即$1$，此距离为$\triangle AOB$中$OB$边上的高。
所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OB× 高=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
(1)$a=\frac{1}{4}$，$b=4$；
(2)$\frac{3}{2}$

9. (1) 如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - 3 $ 和 $ y = - a x ^ { 2 } + 3 $ 都经过 $ x $ 轴上的 $ A $,$ B $ 两点,两条抛物线的顶点分别为 $ C $,$ D $. 当四边形 $ A C B D $ 的面积为 $ 24 $ 时,求 $ a $ 的值；

(2) 抛物线 $ y = x ^ { 2 } + 2 $ 与直线 $ y = k x + 3 $ 的一个交点为 $ ( 2, b ) $,求另一个交点的坐标.

答案：
(1)
抛物线$y = ax^{2} - 3$，令$y = 0$，则$ax^{2} - 3 = 0$，解得$x = \pm\sqrt{\frac{3}{a}}$，所以$A(-\sqrt{\frac{3}{a}},0)$，$B(\sqrt{\frac{3}{a}},0)$，其顶点$C(0,-3)$。
抛物线$y = -ax^{2} + 3$，令$y = 0$，则$-ax^{2} + 3 = 0$，解得$x = \pm\sqrt{\frac{3}{a}}$，其顶点$D(0,3)$。
那么$AB = 2\sqrt{\frac{3}{a}}$，$CD = 3 - (-3) = 6$。
因为四边形$ACBD$是菱形，其面积$S = \frac{1}{2}AB× CD$，已知$S = 24$，即$\frac{1}{2}× 2\sqrt{\frac{3}{a}}× 6 = 24$。
化简得$\sqrt{\frac{3}{a}} = 4$，两边平方得$\frac{3}{a} = 16$，解得$a = \frac{3}{16}$。
(2)
把$(2,b)$代入$y = x^{2} + 2$，得$b = 2^{2} + 2 = 6$。
再把$(2,6)$代入$y = kx + 3$，得$6 = 2k + 3$，解得$k = \frac{3}{2}$。
联立$\begin{cases}y = x^{2} + 2\\y = \frac{3}{2}x + 3\end{cases}$，则$x^{2} + 2 = \frac{3}{2}x + 3$。
移项化为标准的一元二次方程形式：$2x^{2} - 3x - 2 = 0$。
因式分解得$(2x + 1)(x - 2) = 0$，解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，$y = (-\frac{1}{2})^{2} + 2 = \frac{9}{4}$。
所以另一个交点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。