《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k + 3)x + 3k = 0$.
(1)求证：不论$k$取何实数,该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形$ABC的一边长为2$,另两边长恰好是方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1) 证明：
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程 $x^{2} - (k + 3)x + 3k = 0$，有：
$a = 1, b = -(k + 3), c = 3k$，
计算判别式 $\Delta$，得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (k + 3)^2 - 4 × 1 × 3k = k^2 + 6k + 9 - 12k = k^2 - 6k + 9 = (k - 3)^2$，
由于 $(k - 3)^2 \geq 0$，即 $\Delta \geq 0$，
所以，不论 $k$ 取何实数，该方程总有实数根。
(2) 解：
当腰长为2时，代入方程 $x^{2} - (k + 3)x + 3k = 0$，得：
$4 - 2(k + 3) + 3k = 0$，
解得 $k = 2$。
此时原方程变为 $x^{2} - 5x + 6 = 0$，
解得 $x_1 = 2, x_2 = 3$。
由于 $2 + 2 ＞ 3$，满足三角形的三边关系，
所以三角形的周长为 $2 + 2 + 3 = 7$。
当底边长为2时，方程 $x^{2} - (k + 3)x + 3k = 0$ 有两个相等的实数根，
即 $\Delta = 0$，解得 $k = 3$。
此时原方程变为 $x^{2} - 6x + 9 = 0$，
解得 $x_1 = x_2 = 3$。
由于 $2 + 3 ＞ 3$，满足三角形的三边关系，
所以三角形的周长为 $2 + 3 + 3 = 8$。
综上，$\triangle ABC$ 的周长为7或8。

10. 若整数$a使得关于x的一元一次不等式组\begin{cases}\frac{3x + 1}{2}＞-1\\x + 1\leqslant3(a - x)\end{cases} $有解,也使得关于$x的一元二次方程(a - 1)x^{2}-4x + 1 = 0$有实数根,则所有满足条件的整数$a$的和为______14.

答案： 14

11. 定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)满足a + b + c = 0$,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.
(1)若一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,试求$a与c$之间的数量关系；
(2)已知关于$x的方程m(x^{2}+1)-3x^{2}+nx = 0$是“凤凰”方程,且两个实数根都是整数,求整数$m$的值.

答案：
(1)因为方程是“凤凰”方程，所以$a + b + c = 0$，即$b = -a - c$。又方程有两个相等实数根，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。将$b = -a - c$代入得$(-a - c)^2 - 4ac = 0$，即$(a - c)^2 = 0$，故$a = c$。
(2)原方程整理为$(m - 3)x^2 + nx + m = 0$。由“凤凰”方程定义得$(m - 3) + n + m = 0$，即$n = 3 - 2m$。方程为$(m - 3)x^2 + (3 - 2m)x + m = 0$，判别式$\Delta = (3 - 2m)^2 - 4(m - 3)m = 9$，根为$x = \frac{2m - 3 \pm 3}{2(m - 3)}$。解得$x_1 = 1$，$x_2 = 1 + \frac{3}{m - 3}$。因为根为整数，所以$\frac{3}{m - 3}$为整数，$m - 3$是3的因数，即$m - 3 = \pm1, \pm3$，得$m = 4, 2, 6, 0$。
(1)$a = c$；
(2)$m = 0, 2, 4, 6$。