《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,若$\triangle ABC与\triangle DEF的相似比为\dfrac{3}{4}$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$对应中线的比为(A)
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{9}{16}$
D.$\dfrac{16}{9}$

答案： A

2. 若两个相似三角形对应中线的比为$\dfrac{2}{3}$,则它们对应边上的高之比为(B)
A.$\dfrac{4}{9}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

答案： B

3. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,$AD$,$A'D'$是它们的对应角平分线,$BE$,$B'E'$是它们的对应中线,若$BE:B'E' = 2:5$,则$A'D':AD = $(A)
A.$2:5$
B.$5:2$
C.$4:25$
D.$25:4$

答案： A

4. 如果两个相似三角形对应角平分线的比是$2:3$,那么它们对应高的比是$2:3$。

答案： $2:3$

5. 若两个相似三角形对应边的比是$2:3$,它们一条对应高的差为$5cm$,则这两条对应高的长分别是10cm和15cm。

答案： 10cm和15cm

6. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,$AD和A'D'$是它们的对应中线,$BC = 6cm$,$B'C' = 4cm$,$A'D' = 6cm$,则$AD = $9$cm$。

答案： 9

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$AC$上的点,已知$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$,相似比为$2:3$,$\triangle ABC的角平分线AF交DE于点G$,求$AG与GF$的比。

答案： 2:1

8. 证明：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。(要求：先画出图形,再根据图形写出已知、求证和证明过程)

答案： 图形：
（此处需画出图形：△ABC 与△A'B'C'相似，点 D 为 BC 中点，AD 为中线；点 D'为 B'C'中点，A'D'为中线。标注顶点 A,A',B,B',C,C',D,D'）
已知：
△ABC∽△A'B'C'，相似比为 $ k $，AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，A'D'是△A'B'C'中 B'C'边上的中线。
求证：
$\frac{AD}{A'D'} = k$
证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为 $ k $，
∴$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$，∠B=∠B'。
∵AD，A'D'分别是 BC，B'C'边上的中线，
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。
∴$\frac{BD}{B'D'} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k$。
在△ABD 和△A'B'D'中，
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BD}{B'D'} = k$，∠B=∠B'，
∴△ABD∽△A'B'D'（SAS）。
∴$\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。