《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 1 $,$ BC = 2 $,则 $ \tan A $ 的值为 (B)
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
D.$ \sqrt{5} $

答案： B

2. 已知在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \tan A = 2 $,$ AC = 6 $,则 $ BC = $ (C)
A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 12 $
D.$ 16 $

答案： C

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,当 $ \angle A $ 的度数不断增大时,$ \tan A $ 的值的变化情况是 (A)
A.不断变大
B.不断减小
C.不变
D.不能确定

答案： A

4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ OA $ 过点 $ (2,1) $,则 $ \tan \alpha $ 的值是 $\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

5. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $,$ b $,$ c $。
(1) 若 $ a = 3 $,$ b = 4 $,则 $ \tan A = $$\frac{3}{4}$；
(2) 若 $ b = 21 $,$ c = 29 $,则 $ \tan A = $$\frac{20}{21}$；
(3) 若 $ a = 2 $,$ b = 6 $,则 $ \tan A = $$\frac{1}{3}$；
(4) 若 $ a = 9 $,$ c = 15 $,则 $ \tan A = $$\frac{3}{4}$。

答案：
(1) $\frac{3}{4}$
(2) $\frac{20}{21}$
(3) $\frac{1}{3}$
(4) $\frac{3}{4}$

6. (1) 若某人沿坡度 $ i = 3:4 $ 的斜坡前进 $ 10 $ 米,则他所在的位置比原来的位置升高了6米；
(2) 等腰三角形的底边长是 $ 10 $,周长是 $ 40 $,则其底角的正切值是$2\sqrt{2}$；
(3) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 为 $ BC $ 边上的中线,若 $ AB = 10 $,$ BD = 4 $,则 $ \tan \angle DAC = $$\frac{2}{3}$。

答案： 6；$2\sqrt{2}$；$\frac{2}{3}$

7. (1) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 1 $,$ AC = \sqrt{3} $,求 $ \tan A $ 与 $ \tan B $ 的值；
(2) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $,$ BC = 2\sqrt{3} $,求 $ AB $ 的长。

答案：
(1)
在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = \sqrt{3}$。
根据正切函数的定义，有
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
(2)
在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$BC = 2\sqrt{3}$。
根据正切函数的定义，有
$\tan B = \frac{AC}{BC}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{2\sqrt{3}}$
解得 $AC = 3$。
利用勾股定理，有
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}$

8. 如图,矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 10 $,$ BC = 8 $,$ E $ 为 $ AD $ 边上一点,沿 $ CE $ 将 $ \triangle CDE $ 对折,使点 $ D $ 正好落在 $ AB $ 边上的点 $ F $ 处,求 $ \tan \angle AFE $ 的值。

答案： 由题可知，$\triangle CEF$是由$\triangle CED$沿$CE$翻折得到的，所以$\triangle CEF\cong \triangle CED$。
因为$CD=10cm$，所以$CF=CD=10cm$。
在$Rt\triangle BCF$中，$BC=8cm$，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6(cm)$。
因为$AB=10cm$，所以$AF=AB-BF=10-6=4(cm)$。
设$AE=xcm$，则$EF=DE=(8-x)cm$。
在$Rt\triangle AEF$中，根据勾股定理：
$AE^2+AF^2=EF^2$，
$x^2+4^2=(8-x)^2$，
$x^2+16=64-16x+x^2$，
$16x=48$，
$x=3$。
所以$AE=3cm$，$EF=8-3=5(cm)$。
$\tan \angle AFE=\frac{AE}{AF}=\frac{3}{4}$。
综上，$\tan \angle AFE$的值为$\frac{3}{4}$。