《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(4,0),C(0,2).
(1)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的$\frac{1}{2}$,得到△A_1B_1C_1,请在y轴的右侧画出△A_1B_1C_1；
(2)在y轴上是否存在点P,使得|B_1P - A_1P|的值最大？若存在,请求出满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： （1）
$A_1(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$，$B_1(2,0)$，$C_1(0,1)$，在$y$轴右侧作出$\triangle A_1B_1C_1$。
（2）
延长$A_1B_1$交$y$轴于点$P$，此时$\vert B_1P - A_1P\vert = A_1B_1$，值最大。
设直线$A_1B_1$的解析式为$y = kx + b$，
把$A_1(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$，$B_1(2,0)$代入得：
$\begin{cases}\frac{3}{2}k + b = \frac{3}{2}, \\2k + b = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = - 3, \\b = 6.\end{cases}$
所以直线$A_1B_1$的解析式为$y = - 3x + 6$。
令$x = 0$，得$y = 6$，所以$P(0,6)$。

10. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,2),C(-2,1),以点A为位似中心,把△ABC在x轴上方按相似比1:2放大,放大后的图形记作△AB'C',则点C'的坐标为(-5,2).

答案： 【解析】：设位似中心为$A(1,0)$，原点点$C(-2,1)$，相似比为$2$（放大到$2$倍）。向量$\overrightarrow{AC}=(-2 - 1,1 - 0)=(-3,1)$，则$\overrightarrow{AC'}=2\overrightarrow{AC}=(-6,2)$。因此，点$C'$的坐标为$A + \overrightarrow{AC'}=(1 - 6,0 + 2)=(-5,2)$。
【答案】：(-5,2)

11. 如果两个一次函数$y = k_1x + b_1$和$y = k_2x + b_2$满足$k_1 = k_2,b_1 ≠ b_2,$那么称这两个一次函数为“平行一次函数”. 如图,已知函数y = -2x + 4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,一次函数y = kx + b与y = -2x + 4是“平行一次函数”.
(1)若函数y = kx + b的图象过点(3,1),求b的值；
(2)若函数y = kx + b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似比为1:2,位似中心为原点,求函数y = kx + b的表达式.

答案：
(1)
∵y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”，
∴k=-2.
将(3,1)代入y=-2x+b，得1=-2×3+b，解得b=7.
(2)在y=-2x+4中，令y=0得x=2，
∴A(2,0)；令x=0得y=4，
∴B(0,4).
∵y=kx+b为“平行一次函数”，
∴k=-2，函数为y=-2x+b.
设其与x轴交于C(b/2,0)，与y轴交于D(0,b)，则△COD与△AOB位似，位似中心为原点，位似比1:2.
∵位似比1:2，
∴OC/OA=1/2，OD/OB=1/2或OC/OA=-1/2，OD/OB=-1/2.
当OC/OA=1/2时，b/2=2×(1/2)=1，b=4×(1/2)=2，
∴b=2，函数为y=-2x+2.
当OC/OA=-1/2时，b/2=2×(-1/2)=-1，b=4×(-1/2)=-2，
∴b=-2，函数为y=-2x-2.
综上，函数表达式为y=-2x+2或y=-2x-2.
答案
(1)7
(2)y=-2x+2或y=-2x-2