《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + c $ $ ( a \neq 0 ) $ 的图象过正方形 $ A B O C $ 的三个顶点 $ A $,$ B $,$ C $,则 $ a c $ 的值是 ____-2.zyjl.cn/pic18/2025-09-10/1ab648f80aaaa2793b601e402af5c998.jpg?x-oss-process=image/crop,x_624,y_2294,w_284,h_310">

答案： -2

11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ A $,且点 $ B $ 与点 $ O $ 关于点 $ A $ 对称.
(1) 抛物线的顶点 $ A $ 的坐标为 $ (0, \frac{1}{4}) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (0, \frac{1}{2}) $；
(2) 过点 $ B $ 的直线 $ y = k x + b ( k ＜ 0 ) $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ C $,过点 $ C $ 作直线 $ l $ 平行于 $ y $ 轴,$ P $ 是直线 $ l $ 上一点,且 $ P B = P C $,求线段 $ P B $ 的长(用含 $ k $ 的代数式表示),并判断点 $ P $ 是否在抛物线上.线段 $ PB $ 的长为 $ \frac{1 + k^2}{4k^2} $，点 $ P $ 在抛物线上。

答案：
(1) 抛物线 $ y = x^2 + \frac{1}{4} $ 的顶点坐标为 $ (0, \frac{1}{4}) $，故点 $ A(0, \frac{1}{4}) $。
点 $ O(0,0) $ 与点 $ B $ 关于点 $ A $ 对称，设 $ B(x,y) $，由中点坐标公式得 $ \frac{0+x}{2}=0 $，$ \frac{0+y}{2}=\frac{1}{4} $，解得 $ x=0 $，$ y=\frac{1}{2} $，故点 $ B(0, \frac{1}{2}) $。
(2) 直线 $ y = kx + b $ 过点 $ B(0, \frac{1}{2}) $，则 $ b = \frac{1}{2} $，直线方程为 $ y = kx + \frac{1}{2} $。
令 $ y=0 $，得 $ 0 = kx + \frac{1}{2} $，解得 $ x = -\frac{1}{2k} $，故点 $ C(-\frac{1}{2k}, 0) $。
直线 $ l // y $ 轴且过点 $ C $，则直线 $ l $ 的方程为 $ x = -\frac{1}{2k} $。设 $ P(-\frac{1}{2k}, m) $，
$ PC = |m - 0| = |m| $，$ PB = \sqrt{(-\frac{1}{2k} - 0)^2 + (m - \frac{1}{2})^2} $。
由 $ PB = PC $，得 $ \sqrt{(\frac{1}{2k})^2 + (m - \frac{1}{2})^2} = |m| $，两边平方化简得 $ \frac{1}{4k^2} + m^2 - m + \frac{1}{4} = m^2 $，解得 $ m = \frac{1 + k^2}{4k^2} $。
故 $ PB = PC = \frac{1 + k^2}{4k^2} $。
将 $ x = -\frac{1}{2k} $ 代入抛物线 $ y = x^2 + \frac{1}{4} $，得 $ y = (-\frac{1}{2k})^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4k^2} + \frac{1}{4} = \frac{1 + k^2}{4k^2} = m $，故点 $ P $ 在抛物线上。
(1) $ (0, \frac{1}{4}) $；$ (0, \frac{1}{2}) $
(2) $ PB = \frac{1 + k^2}{4k^2} $，点 $ P $ 在抛物线上。