《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列条件不能判定$□ ABCD$为矩形的是(D)
A.$\angle A= \angle B$
B.$AB\perp BC$
C.$AC= BD$
D.$\angle A= \angle C$

答案： D

2. 四边形$ABCD的对角线AC$,$BD$互相平分,要使它成为矩形,可以添加的条件是(B)
A.$AB= CD$
B.$AC= BD$
C.$AB= BC$
D.$AC\perp BD$

答案： B

3. 下列条件：①$AC\perp BD$；②$\angle BAD= 90^{\circ}$；③$AB= BC$；④$AC= BD$,其中能使$□ ABCD$为矩形的是(C)
A.①③
B.③④
C.②④
D.①②③

答案： C

4. 在四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD交于点O$,已知$OA= OC$,$OB= OD$,添加一个条件：$AC = BD$,使四边形$ABCD$是矩形.(写出一个即可)

答案： $AC = BD$（答案不唯一）

5. 如图,在四边形$ABCD$中,对角线$BD\perp AC于点O$,$E$,$F$,$G$,$H$依次为各边中点,则四边形$EFGH$是矩形.

答案： 矩形

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= 6$,$AC= 8$,$P是BC$边上的一个动点,$PM\perp AB于点M$,$PN\perp AC于点N$,则$MN$长度的最小值为24/5.

答案： 24/5

7. 如图,在$□ ABCD$中,$CE\perp AB$,$AF\perp CD$,垂足分别为$E$,$F$,求证：四边形$AECF$是矩形.

答案： 证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB// CD$，
即$AE// CF$。
因为$CE\perp AB$，$AF\perp CD$，
所以$\angle AEC=\angle AFC = 90^\circ$，
所以$CE// AF$。
所以四边形$AECF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又因为$\angle AEC = 90^\circ$，
所以平行四边形$AECF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

8. 如图,菱形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,$E是AD$的中点,点$F$,$G在AB$上,$EF\perp AB于点F$,$OG// EF$. 求证：四边形$OEFG$是矩形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴O为AC中点（菱形对角线互相平分），AB//DC。
∵E是AD中点，O是AC中点，
∴EO是△ADC的中位线（三角形中位线定义），
∴EO//DC，EO=1/2 DC（三角形中位线定理）。
∵AB//DC，
∴EO//AB（平行于同一直线的两直线平行），即EO//FG。
∵OG//EF（已知），
∴四边形OEFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵EF⊥AB，EO//AB，
∴EF⊥EO（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），
∴∠OEF=90°。
∵四边形OEFG是平行四边形，且∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。