《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. 如图,在$\odot O$中,$∠AOB= 120^{\circ }$,点C在$\overset{\frown }{AB}$上,连接AC,BC.若过点B作$BD⊥AC$的延长线于点D,则$∠CBD$的度数为(A)

A. $30^{\circ }$
B. $35^{\circ }$
C. $40^{\circ }$
D. $45^{\circ }$

答案： A

8. 如图,$\odot C$过原点O,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为$(0,4)$,点M是第三象限内$\overset{\frown }{OB}$上一点.若$∠BMO= 120^{\circ }$,则$\odot C$的半径为4.

答案： 4

9. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$.若$∠ABC= 135^{\circ },AC= 4$,则$\odot O$的半径为______$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

10. 如图,在$\triangle ABC$中,以AB为直径的$\odot O$分别交AC,BC于点D,E.连接ED,若$ED= EC$.
(1)求证:$AB= AC$;
(2)若$∠C= 60^{\circ },CD= 4$,求AB的长.8

答案：
(1)略　　
(2)8

11. 新定义 有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形,其中这个角叫做美角.
(1)如图1,若四边形ABCD是圆美四边形,求美角$∠A$的度数.
(2)在(1)的条件下,若$\odot O$的半径为5.
①BD的长是______;
②如图2,在四边形ABCD中,若CA平分$∠BCD$,求证:$BC+CD= AC$.

答案：
解:
(1)
∵四边形ABCD是圆美四边形，且$\angle A$是美角，
　
∴$\angle A=\frac{1}{2}\angle C$.
　
∵$\angle A+\angle C=180^{\circ}$,
　
∴$\angle A=60^{\circ}$.
(2)①$5\sqrt{3}$
　　②证明:如图，连接BD,延长CB
到点E,使得$BE = CD$,连接AE.
　　　
在
(1)的条件下,
$\angle BAD = 60^{\circ},\angle BCD = 120^{\circ}$.
∵CA平分$\angle BCD$,
∴$\angle ACD=\angle ACB = 60^{\circ}$.
∵$\angle ABD=\angle ACD = 60^{\circ}$,
∴$\angle ADB=\angle ACB = 60^{\circ}$.
∴$\triangle ABD$是等边三角形.
∴$AB = AD$.
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$.
又$\angle ABC+\angle ABE = 180^{\circ}$,
∴$\angle ABE=\angle ADC$.
∴$\triangle ACD\cong\triangle AEB(SAS)$.
∴$\angle E=\angle ACD = 60^{\circ},\angle EAB=\angle DAC,AE = AC$.
∴$\angle EAC=\angle EAB+\angle BAC=\angle BAC+\angle DAC = 60^{\circ}$.
∴$\triangle ACE$为等边三角形.
则$BC + CD = BC + BE = CE$,
即$AC = CE = BC + CD$.
$\therefore BC + CD = AC$.