《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

6. 下列图象中,有可能是函数$y = a x ^ { 2 } + a ( a \neq 0 )$的图象的是(C)

答案： C

7. 若$A ( - 6 , y _ { 1 } )$,$B ( - 3 , y _ { 2 } )$,$C ( 1 , y _ { 3 } )为二次函数y = x ^ { 2 } - m$图象上的三点,则$y _ { 1 }$,$y _ { 2 }$,$y _ { 3 }$的大小关系是(A)
A. $y _ { 3 } \lt y _ { 2 } \lt y _ { 1 }$
B. $y _ { 2 } \lt y _ { 3 } \lt y _ { 1 }$
C. $y _ { 3 } \lt y _ { 1 } \lt y _ { 2 }$
D. $y _ { 2 } \lt y _ { 1 } \lt y _ { 3 }$

答案： A

8. 易错题对于二次函数$y = - 2 x ^ { 2 } + 6$,当$- 2 \lt x \leq 1$时,$y$的取值范围是-2＜y≤6.

答案： -2＜y≤6

9. 如图,二次函数$y = a x ^ { 2 } + k ( a \neq 0 )的图象的顶点坐标是( 0,1 )$,且形状及开口方向与抛物线$y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$相同.
(1)确定$a$和$k$的值；$a=$$\frac{1}{2}$，$k=$1
(2)若直线$y = - \frac { 1 } { 2 } x + 2与抛物线交于C$,$D$两点(点$C在点D$的左侧),与$y轴交于点B$,连接$AC$,$AD$,求$\triangle A C D$的面积.$\frac{3}{2}$

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}+k(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$（顶点坐标$(h,k)$），已知顶点坐标是$(0,1)$，所以$h = 0$，$k = 1$。
又因为形状及开口方向与抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$相同，二次函数$y = ax^{2}+k$与$y = mx^{2}+n$形状及开口方向相同，则$\vert a\vert=\vert m\vert$，所以$a=\frac{1}{2}$。
2. （2）
解：
由（1）知二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$。
联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^{2}+1\\y =-\frac{1}{2}x + 2\end{cases}$，将$y =-\frac{1}{2}x + 2$代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$得：
$\frac{1}{2}x^{2}+1=-\frac{1}{2}x + 2$。
方程两边同时乘以$2$得$x^{2}+2=-x + 4$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$x^{2}+x - 2 = 0$。
分解因式得$(x + 2)(x - 1)=0$。
则$x+2 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$。
当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)+2=1 + 2=3$；当$x = 1$时，$y=-\frac{1}{2}×1+2=\frac{3}{2}$。
所以$C(-2,3)$，$D(1,\frac{3}{2})$。
对于直线$y =-\frac{1}{2}x + 2$，令$x = 0$，则$y = 2$，所以$B(0,2)$，又$A(0,1)$，则$AB=\vert2 - 1\vert=1$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为$AB$，$C$点横坐标的绝对值$\vert x_{C}\vert$与$D$点横坐标$x_{D}$的绝对值之和为高（以$AB$为底）。
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AB×(\vert x_{C}\vert+\vert x_{D}\vert)$。
把$AB = 1$，$\vert x_{C}\vert = 2$，$\vert x_{D}\vert = 1$代入得：$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×1×(2 + 1)=\frac{3}{2}$。
综上，（1）$a=\frac{1}{2}$，$k = 1$；（2）$\triangle ACD$的面积为$\frac{3}{2}$。

10. (2024赤峰改编)如图,正方形$A B C D的顶点A$,$C在抛物线y = - x ^ { 2 } + 4$上,点$D在y$轴上.若$A$,$C两点的横坐标分别为m$,$n ( m \gt n \gt 0 )$,探究$m与n$之间的关系.

答案：
解：如图，分别过点 A 和点 C 作 y 轴的垂线，垂足分别为 M 和 N。

∵点 A，C 的横坐标分别为 m，n，且两点均在抛物线上，
∴点 A 的坐标为(m,−m²+4)，点 C 的坐标为(n,−n²+4)。
∴AM=m，MO=−m²+4，CN=n，NO=−n²+4。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°。
∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°。
∴∠CDN=∠DAM。
∴△CDN≌△DAM(AAS)。
∴DN=AM=m，DM=CN=n。
∴MN=DN+DM=m+n。
又 MN=NO−MO=−n²+4−(−m²+4)=m²−n²，
∴m²−n²=m+n，
即(m+n)(m−n)=m+n。
∵m＞n＞0，
∴m+n≠0。
∴m−n=1。