《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. (2025 福州一中期中)如图,以线段 AB 为直径作$\odot O$,交射线 AC 于点 C,AD 平分$∠CAB交\odot O$于点 D,过点 D 作直线$DE⊥AC$于点 E,交 AB 的延长线于点 F. 连接 BD 并延长交 AC 于点 M.
(1)求证:直线 DE 是$\odot O$的切线;连接$OD$，通过证明$OD// AC$，结合$DE\perp AC$得出$OD\perp DE$，从而证明直线$DE$是$\odot O$的切线。
(2)求证:$AB= AM$.利用$AB$是直径得出$\angle ADB = 90^{\circ}$，通过证明$\triangle ABD\cong\triangle AMD$（$ASA$），得出$AB = AM$。

答案：
(1) 连接$OD$，通过证明$OD// AC$，结合$DE\perp AC$得出$OD\perp DE$，从而证明直线$DE$是$\odot O$的切线。
(2) 利用$AB$是直径得出$\angle ADB = 90^{\circ}$，通过证明$\triangle ABD\cong\triangle AMD$（$ASA$），得出$AB = AM$。

2. (2024 福州二检)如图,在$△ABC$中,$CA= CB$,O 为 AB 上一点. 以 O 为圆心,OB 长为半径的$\odot O$过点 C,交 AB 于另一点 D,若 D 是 OA 的中点,求证:AC 是$\odot O$的切线.

证明：连接OC。$\because CA = CB$，$\therefore\angle A=\angle B$。$\because OC = OB$，$\therefore\angle OCB=\angle B$，$\therefore\angle A=\angle OCB$。设$OD = x$，$\because D$是$OA$中点，$\therefore OA = 2x$，又$OB = OC$，$\therefore OC = OB = 2x$。$\because\angle AOC=\angle B+\angle OCB = 2\angle A$，在$\triangle AOC$中，$\angle A+\angle AOC+\angle ACO = 180^{\circ}$，把$\angle AOC = 2\angle A$，$\angle A=\angle OCB$代入得：$\angle ACO = 90^{\circ}$，即$OC\perp AC$。$\because OC$是$\odot O$半径，$\therefore AC$是$\odot O$的切线。

答案： 连接$OC$。
$\because CA = CB$，$\therefore\angle A=\angle B$。
$\because OC = OB$，$\therefore\angle OCB=\angle B$，$\therefore\angle A=\angle OCB$。
设$OD = x$，$\because D$是$OA$中点，$\therefore OA = 2x$，又$OB = OC$，$\therefore OC = OB = 2x$。
$\because\angle AOC=\angle B+\angle OCB = 2\angle A$，在$\triangle AOC$中，$\angle A+\angle AOC+\angle ACO = 180^{\circ}$，
把$\angle AOC = 2\angle A$，$\angle A=\angle OCB$代入得：$\angle ACO = 90^{\circ}$，即$OC\perp AC$。
$\because OC$是$\odot O$半径，$\therefore AC$是$\odot O$的切线。

3. (2024 武汉改编)如图,$△ABC$为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,腰 AC 与半圆 O 相切于点 D,底边 BC 与半圆 O 交于 E,F 两点.
(1)求证:AB 与半圆 O 相切;
(2)若$CD= 4,CF= 2$,求$\odot O$的半径为3.

答案：
(1) 略
(2) 3