《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 下列一元二次方程的根是$x= \frac {2\pm \sqrt {(-2)^{2}+4×1×2}}{2}$的是(D)
A. $2x^{2}+2x+1= 0$
B. $x^{2}+2x+2= 0$
C. $x^{2}-2x+2= 0$
D. $x^{2}-2x-2= 0$

答案： D

6. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+m^{2}-3m-5= 0$的一个根为-1,求m的值与方程的另一个根.

答案： $ m_{1} = 1 $，$ m_{2} = 2 $，另一个根是 7

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+5)x+6+2k= 0$.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程恰有一个根小于-2,求k的取值范围.

答案：
(1) 略
(2) $ k ＜ -5 $

8. 创新意识古希腊数学家丢番图(公元250年前后)曾在《算术》中提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如$x^{2}+ax= b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法是:如图,以$\frac {a}{2}$和b为两直角边长作$Rt△ABC$,再在斜边上截取$BD= \frac {a}{2}$,则AD的长就是所求方程的一个解.
(1)请用含字母a,b的式子表示AD的长;
AD的长为$\frac{\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2}$
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性,并说说这种解法的缺点.
方程$x^{2}+ax= b^{2}$化为一般形式为$x^{2} + ax - b^{2} = 0$，根据求根公式可得方程的两个根为$x_{1}=$$\frac{-\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2}$，$x_{2}=$$\frac{\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2}$。因为AD的长是正数根，所以该图解法正确。这种解法的缺点是不能表示方程的负根。

答案： 解:
(1) $ \because ∠C = 90^{\circ} $，$ BC = \frac{a}{2} $，$ AC = b $，
$ \therefore AB = \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}} $。
$ \therefore AD = \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}} - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2} $。
(2) 方程 $ x^{2} + ax = b^{2} $ 化为 $ x^{2} + ax - b^{2} = 0 $。
$ x_{1} = \frac{-a - \sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{2} = \frac{-\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2} $，
$ x_{2} = \frac{-a + \sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{4b^{2} + a^{2}} - a}{2} $。
$ \because AD $ 的长就是方程的正数根，
$ \therefore $ 该图解法正确。
图解法的缺点: 不能表示方程的负根。