《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. (2025南平一中期中)如图,在⊙O中,弦AB= 8,点C在⊙O上(C与A,B不重合),连接CA,CB. 若过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是D,E,则DE= ______4.

答案： 4

12. 如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y= kx-3k+4与⊙O交于B,C两点,求弦BC的长的最小值.

答案：
解:对于直线 $y = kx - 3k + 4=k(x - 3)+4$，无论 $k$ 为何值，直线恒经过点 $(3,4)$，记为点 $D$。
如图，连接 $OD$，过点 $D$ 作 $DH⊥x$ 轴于点 $H$，

则 $OH = 3$，$DH = 4$。
$\therefore OD = \sqrt{OH^{2}+DH^{2}} = 5$。
∵过圆内定点 $D$ 的所有弦中，与 $OD$ 垂直的弦最短，
∴当 $BC⊥OD$ 时，$BC$ 取最小值。
∵$\odot O$ 过点 $A(13,0)$，
$\therefore OA = 13$。
$\therefore OB = OA = 13$。
∵当 $OD⊥BC$ 时，过圆内定点 $D$ 的弦 $BC$ 最短，
∴根据垂径定理及勾股定理，得 $BC = 2BD = 2\sqrt{OB^{2}-OD^{2}} = 2×\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 24$。