《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. (教材$P_{52}T_{5}$改编)如图,四边形ABCD中,$AC⊥BD$.若$AC+BD= 8$,则四边形ABCD的面积最大值是 (C)

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

答案： C

6. 如图,某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面(粗线ABC表示墙面,已知$AB⊥BC,AB= 3m,BC= 1m$)和总长为14m的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF,细线表示篱笆,小型农场中间GH也是用篱笆隔开,点D在线段AB上,设DF的长为xm.
(1)请用含x的代数式表示EF的长;
(2)若要求所围成的小型农场DBEF的面积为$\frac {27}{4}m^{2}$,求DF的长;
(3)求小型农场DBEF的最大面积.
(1)请用含x的代数式表示EF的长;
EF的长为$(15 - 3x)m$.
(2)若要求所围成的小型农场DBEF的面积为$\frac {27}{4}m^{2}$,求DF的长;
DF的长为$\frac{9}{2}m$.
(3)求小型农场DBEF的最大面积.
小型农场DBEF的最大面积为$12m^{2}$.

答案： 解:
(1) $ \because $ 点 $ D $ 在线段 $ AB $ 上,
$ \therefore EF = 14 - 2x - (x - 1) = (15 - 3x) \mathrm{m} $.
(2) $ \because $ 点 $ D $ 在线段 $ AB $ 上,
$ \therefore EF \leq 3 $, 即 $ 0 ＜ 15 - 3x \leq 3 $.
$ \therefore 4 \leq x ＜ 5 $.
$ \because $ 小型农场 $ DBEF $ 的面积为 $ \frac{27}{4} \mathrm{m}^{2} $,
$ \therefore x(15 - 3x) = \frac{27}{4} $.
解得 $ x_{1} = \frac{1}{2} $ (舍 去), $ x_{2} = \frac{9}{2} $.
$ \therefore DF $ 的长为 $ \frac{9}{2} \mathrm{m} $.
(3) 设小型农场 $ DBEF $ 的面积为 $ S $,
则 $ S = x(15 - 3x) $
$ = -3(x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{75}{4} $.
$ \because -3 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 在对称轴右侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
$ \therefore $ 当 $ x = 4 $ 时, $ S $ 取得最大值, 最大值为 $ 12 \mathrm{m}^{2} $.
$ \therefore $ 小型农场 $ DBEF $ 的最大面积为 $ 12 \mathrm{m}^{2} $.

7. (教材$P_{52}T_{7}$改编)如图,边长为6的正方形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的动点,且$AE= BF= CG= DH$,点E从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动(到达点B时停止),设运动时间为t(单位:s).
(1)当运动停止时,t的值为6.
(2)设四边形EFGH的面积为S.
①S关于t的解析式为$ S = 2t^{2} - 12t + 36 $,t的取值范围为$ 0 \leq t \leq 6 $;
②当点E运动到何处时,四边形EFGH的面积S最小?
当点 $ E $ 运动到 $ AB $ 的中点时, 四边形 $ EFGH $ 的面积 $ S $ 最小, 为 18

答案：
(1) 6
(2) ① $ S = 2t^{2} - 12t + 36 $ $ 0 \leq t \leq 6 $
② 当点 $ E $ 运动到 $ AB $ 的中点时, 四边形 $ EFGH $ 的面积 $ S $ 最小, 为 18