《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,点 $D$ 是边 $AC$ 上的中点,$BD = 5$,$\cos\angle BDC= \frac{3}{5}$,求 $CD$ 的长为3和 $\tan A$ 的值为$\frac{2}{3}$。

答案： $ CD = 3 $，$ \tan A = \frac{2}{3} $

9. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,若 $\angle A= \alpha$,$AC = b$,则 $AB$ 的长可以表示为(A)
A. $\frac{b}{\cos\alpha}$
B. $\frac{b}{\sin\alpha}$
C. $b\cdot\sin\alpha$
D. $b\cdot\cos\alpha$

答案： A

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 $B$ 在第一象限,$\angle AOB= \angle B = 30^{\circ}$,若 $OA = 2$,则点 $B$ 的坐标是(C)

A. $(\sqrt{3},3)$
B. $(1,\sqrt{3})$
C. $(3,\sqrt{3})$
D. $(\sqrt{3},1)$

答案： C

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AD$,$\tan C= \frac{5}{12}$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,$CD = 9$,$BD = 6$,求 $\cos B$ 的值为$ \frac{3\sqrt{34}}{34} $。

答案： $ \frac{3\sqrt{34}}{34} $

12. 推理能力(教材 $P_{85}T_{14}$ 变式)如图,在锐角三角形 $ABC$ 中,$BC = a$,$AC = b$,$AB = c$,记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$。求证：
(1)$S= \frac{1}{2}ab\sin C$；
(2)$\frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C}$。

答案：
证明：
(1) 如图，过点 A 作 $ AH \perp BC $ 于点 H.
在 $ Rt\triangle ACH $ 中，$ \sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{b} $.
$ \therefore AH = b\sin C $.
$ \because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AH $，
$ \therefore S = \frac{1}{2}ab\sin C $.

(2) 如图，过点 C 作 $ CD \perp AB $ 于点 D.
在 $ Rt\triangle ADC $ 和 $ Rt\triangle BDC $ 中，$ \angle ADC = \angle BDC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \sin \angle DAC = \frac{CD}{b} $，$ \sin B = \frac{CD}{a} $.
$ \therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{ab}{CD} $，$ \frac{b}{\sin B} = \frac{ab}{CD} $.
$ \therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $.
同理，$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $.
$ \therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $.