《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. (2024齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为$\sqrt{15}$cm.

答案： $\sqrt{15}$

9. (教材$P_{116}T_{10}$变式)如图,在半径为$\sqrt{2}$的圆形纸片中,剪一个圆心角为$90^{\circ}$的最大扇形(阴影部分).
(1)求这个扇形的面积；$\pi$
(2)若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头),求此圆锥底面圆的半径.$\frac{1}{2}$

答案：
(1) $\pi$
(2) $\frac{1}{2}$

10. (2024广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示的步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.
能.
理由：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n^{\circ}$.
根据题意，得$\frac{n\pi\cdot7}{180}=7\pi$，
解得$n = 180$.
∴将圆形滤纸对折，并将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留$\pi$).
设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为$r$ cm，高为$h$ cm.
根据题意，得$2\pi r=\frac{180\pi×5}{180}$.
解得$r=\frac{5}{2}$.
∴$h=\sqrt{5^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$.
∴圆锥的体积为$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi×(\frac{5}{2})^{2}×\frac{5}{2}\sqrt{3}=\frac{125}{24}\sqrt{3}\pi(cm^{3})$.

答案： 解：
(1)能.
理由：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n^{\circ}$.
根据题意，得$\frac{n\pi\cdot7}{180}=7\pi$，
解得$n = 180$.
∴将圆形滤纸对折，并将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为$r$ cm，高为$h$ cm.
根据题意，得$2\pi r=\frac{180\pi×5}{180}$.
解得$r=\frac{5}{2}$.
∴$h=\sqrt{5^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$.
∴圆锥的体积为$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi×(\frac{5}{2})^{2}×\frac{5}{2}\sqrt{3}=\frac{125}{24}\sqrt{3}\pi(cm^{3})$.