《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. (教材$P_{43}T_{7}$变式)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ }$,$CD是边AB$上的高．
(1)求证：$\triangle ACD\backsim \triangle ABC$；
(2)若$AC= 3$,$BC= 4$,求$BD$的长．

(1)略
(2)$\frac {16}{5}$

答案：
(1)略
(2)$\frac {16}{5}$

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD= 90^{\circ }$,对角线$AC\perp BC$,过点$D作DE\perp AC于点E$．求证：$\triangle ABC\backsim \triangle DAE$．
证明：因为$AC\perp BC$，$DE\perp AC$，所以$\angle ACB = \angle DEA=90^{\circ}$。因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle EAD = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC=90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle EAD$。在$\triangle ABC$和$\triangle DAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ACB=\angle DEA\\\angle B=\angle EAD\end{array}\right.$，所以$\triangle ABC\backsim\triangle DAE$（两角分别相等的两个三角形相似）。

答案： 因为$AC\perp BC$，$DE\perp AC$，所以$\angle ACB = \angle DEA=90^{\circ}$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle EAD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC=90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle EAD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ACB=\angle DEA\\\angle B=\angle EAD\end{array}\right.$，所以$\triangle ABC\backsim\triangle DAE$（两角分别相等的两个三角形相似）。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D为边BC$上一点,$E为边AC$上一点,且$\angle ADE= \angle B$．
(1)求证：$\triangle ABD\backsim \triangle DCE$；
(2)若$AC= 8$,$BC= 6$,$CE= 1$,求$BD$的长．

(1)略 (2)2 或 4

答案：
(1)略
(2)2 或 4

8. 如图,$\triangle ABC和\triangle ADE$均为等腰直角三角形,$\angle ACB= \angle AED= 90^{\circ }$,$AC= BC$,$AE= DE$,$B$,$D$,$E$三点共线,线段$BE$,$AC交于点F$,连接$CE$．
(1)求线段$BD$,$CE$之间的数量关系；
答：$BD=\sqrt {2}CE$
(2)求$\angle BEC$的度数．
答：$45^{\circ }$

答案： 解:
(1)$\because △ABC$和$△ADE$均为等腰直角三角形,
$\therefore ∠BAC=∠DAE=45^{\circ }.$
$\therefore ∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE.$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$Rt△ADE$中,由勾股定理,得$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$,即$2AE^{2}=AD^{2},$
$\therefore \frac {AD^{2}}{AE^{2}}=2.$
$\therefore \frac {AD}{AE}=\sqrt {2}.$
在$Rt△ABC$和$Rt△ADE$中,
$\because ∠ABC=∠ADE=45^{\circ },$
$\therefore \frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}=\sqrt {2}.$
又$∠BAD=∠CAE,$
$\therefore △ABD\backsim △ACE.$
$\therefore \frac {BD}{CE}=\frac {AB}{AC}=\sqrt {2}.$
$\therefore BD=\sqrt {2}CE.$
(2)$\because B,D,E$三点共线,
$\therefore ∠ADB=180^{\circ }-∠ADE=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }.$
$\because △ABD\backsim △ACE,$
$\therefore ∠ADB=∠AEC=135^{\circ }.$
$\therefore ∠BEC=∠AEC-∠AED=45^{\circ }.$