《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

6. 如图,在△ABC中,∠A= 78°,AB= 4,AC= 6.将△ABC沿图中的虚线剪开,下列四种剪开的方法中,剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是 (D)

A. ①②③
B. ③④
C. ①②③④
D. ①②④

答案： D

7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE:ED= 1:2,若BE与AC相交于点F,则$\frac{AF}{OC}$的值为 (B)

A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

答案： B

8. 如图,等边三角形ABC的边长为3,点P,D分别在BC,AC上,连接AP,PD.若∠APD= 60°.
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)若PC= 2,求CD的长.

(1)略 (2)$\frac{2}{3}$

答案：
(1)略
(2) $\frac{2}{3}$

9. (教材$P_{58}T_{9}$改编)如图,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F,连接ED.
(1)△ADC与△BEC是相似三角形吗?请说明理由.
是相似三角形.
理由如下:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∠ACD=∠BCE,
∴△ADC∽△BEC.
(2)求证:CD·AB= AC·DE.
证明:∵△ADC∽△BEC,
∴$\frac{CD}{EC}=\frac{AC}{BC}$.
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{EC}{BC}$.
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAB.
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AB}$.
∴CD·AB=AC·DE.
(3)若BA= BC,DE= 3,BD= 5,求CD的长.
$\frac{\sqrt{97}-5}{2}$

答案： 解:
(1)$\triangle ADC$与$\triangle BEC$是相似三角形.
理由如下:
$\because AD\perp BC,BE\perp AC$,
$\therefore \angle ADC=\angle BEC=90^{\circ}$.
又$\angle ACD=\angle BCE$,
$\therefore \triangle ADC\backsim \triangle BEC$.
(2)证明:$\because \triangle ADC\backsim \triangle BEC$,
$\therefore \frac{CD}{EC}=\frac{AC}{BC}$.
$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{EC}{BC}$.
$\because \angle C=\angle C$,
$\therefore \triangle CDE\backsim \triangle CAB$.
$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AB}$.
$\therefore CD\cdot AB=AC\cdot DE$.
(3)$\because BA=BC,BE\perp AC$,
$\therefore AE=EC$.
$\therefore DE=AE=EC=3$.
$\therefore AC=6$.
由
(2),知$CD\cdot AB=AC\cdot DE$.
$\because BA=BC$,
$\therefore CD\cdot (BD+CD)=6\times 3$.
$\because BD=5$,
$\therefore CD\cdot (5+CD)=18$.
$\therefore CD=\frac{\sqrt{97}-5}{2}$.