《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

10. 设函数 $ y = \frac{3}{x} $ 与 $ y = x - 1 $ 的图象的交点坐标为 $ (a,b) $,则 $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ 的值为$-\frac{1}{3}$．

答案： $-\frac{1}{3}$

11. (2024遂宁)如图,一次函数 $ y_1 = kx + b(k \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(m \neq 0) $ 的图象相交于 $ A(1,3) $,$ B(n, - 1) $ 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
反比例函数的解析式为$ y_{2} = \frac{3}{x} $；一次函数的解析式为$ y_{1} = x + 2 $
(2)根据图象直接写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时,x的取值范围；
$-3 ＜ x ＜ 0$ 或 $ x ＞ 1 $
(3)过点B作直线OB,交反比例函数图象于点C,连接AC,求 $ \triangle ABC $ 的面积．
8

答案：
(1) 反比例函数的解析式为 $ y_{2} = \frac{3}{x} $；一次函数的解析式为 $ y_{1} = x + 2 $
(2) $-3 ＜ x ＜ 0$ 或 $ x ＞ 1 $
(3) 8

12. 如图,机器狗是一种模拟真实犬形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(单位：m/s)与载重后总质量m(单位：kg)成反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量 $ m = 60 \text{ kg} $ 时,它的最快移动速度 $ v = 6 \text{ m/s} $；当其载重后总质量 $ m = 90 \text{ kg} $ 时,它的最快移动速度 $ v = $4m/s．

答案： 4

13. 跨学科大约在两千五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验,并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到,在午有端,与景长,说在端．”大意是：影像倒立,在光线交会处有一小孔；关于影像的大小,在于小孔相对物像的位置．如图所示,图2是图1中小孔成像实验的示意图,在图2中,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数,图象如图3所示,且当 $ x = 6 $ 时,$ y = 3 $．

(1)求y关于x的函数解析式；
解：设 $ y = \frac{k}{x} $。把 $ x = 6 $，$ y = 3 $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $ 中，得 $ 3 = \frac{k}{6} $。解得 $ k = 18 $。∴ $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = $$\frac{18}{x}$。
(2)若小孔到蜡烛的距离x为2 cm,求火焰的像高y；
解：把 $ x = 2 $ 代入 $ y = \frac{18}{x} $ 中，解得 $ y = $9。∴ 火焰的像高为 9 cm。
(3)根据反比例函数的图象分析,当火焰的像高y不超过9 cm时,小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
解：由 (2)，可得当 $ y = 9 $ 时，$ x = $2。由 $ y = \frac{18}{x} $ 的图象，可得当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，∴ 当火焰的像高 $ y $ 不超过 9 cm 时，小孔到蜡烛的距离 $ x $ 至少是 2 cm。

答案： 解：
(1) 设 $ y = \frac{k}{x} $。
把 $ x = 6 $，$ y = 3 $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $ 中，得 $ 3 = \frac{k}{6} $。解得 $ k = 18 $。
∴ $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = \frac{18}{x} $。
(2) 把 $ x = 2 $ 代入 $ y = \frac{18}{x} $ 中，解得 $ y = 9 $。
∴ 火焰的像高为 9 cm。
(3) 由
(2)，可得当 $ y = 9 $ 时，$ x = 2 $。
由 $ y = \frac{18}{x} $ 的图象，可得当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，
∴ 当火焰的像高 $ y $ 不超过 9 cm 时，小孔到蜡烛的距离 $ x $ 至少是 2 cm。