《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是边AB$,$AC$上的点,连接$DE$,且$\angle BDE+\angle ACB= 180^{\circ }$．
(1)求证：$\triangle ADE\backsim \triangle ACB$；
(2)如果$E是AC$的中点,$AD= 8$,$AB= 10$,求$AE$的长．

(1)略 (2)$2\sqrt {10}$

答案：
(1)略
(2)$2\sqrt {10}$

2. (教材$P_{42}T_{4}$变式)如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F分别在边AB$,$AC$,$BC$上,且$DE// BC$,$DF// AC$．
(1)求证：$\triangle ADE\backsim \triangle DBF$；
(2)若$BF= 3$,$CF= 6$,$AE= 8$,求$AC$的长．

(1)略
(2)12

答案：
(1)略
(2)12

3. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$M为AD$上的点,且$DM= 2MA$,连接$CM交BD于点N$,且$ON= 1$．
(1)求$BD$的长为10；
(2)若$\triangle DMN的面积为4$,求$\triangle BCD$的面积为15．

答案：
(1)10
(2)15

4. 如图,点$D为\triangle ABC的边AB$上一点,$AD= 2$,$BD= 6$,$AC= 4$．求证：$\triangle ACD\backsim \triangle ABC$．

证明：$\because AD = 2$，$BD = 6$，$AC = 4$，$\therefore AB=AD + BD=2 + 6 = 8$。$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。又$\because\angle A=\angle A$，$\therefore\triangle ACD\backsim\triangle ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

答案： $\because AD = 2$，$BD = 6$，$AC = 4$，
$\therefore AB=AD + BD=2 + 6 = 8$。
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because\angle A=\angle A$，
$\therefore\triangle ACD\backsim\triangle ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。