《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. 关于二次函数$y = -x^{2}+2x - 3$的图象,下列说法错误的是 (C)
A. 对称轴是直线$x = 1$
B. 顶点坐标为$(1,-2)$
C. 当$x＞2$时,$y随x$的增大而增大
D. 图象与$y轴的交点坐标为(0,-3)$

答案： C

8. (2025福州屏东中学月考)已知关于$x的二次函数y = -x^{2}+(a - 1)x - a + 2$,当$x＞-1$时,$y随x$的增大而减小,则实数$a$的取值范围是 (A)
A. $a\leqslant -1$
B. $a\geqslant -1$
C. $a\leqslant 3$
D. $a\geqslant 3$

答案： A

变式 若在抛物线$y = ax^{2}-2ax + 2(a＜0)上有A(-2,y_{1})$,$B(0,y_{2})和C(3,y_{3})$三点,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$(用“＜”连接).

答案： $y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

9. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过A(1,m),B(3,m)两点,则$\frac{b}{a}$的值为____-4.

答案： -4

10. (2024德州节选)已知抛物线$y = x^{2}-4mx + 2m + 1$,$m$为实数.
(1)如果该抛物线经过点$(4,3)$,求此抛物线的顶点坐标;
(2)如果当$2m - 3\leqslant x\leqslant 2m + 1$时,$y$的最大值为4,求$m$的值.

答案：
(1)$(2,-1)$
(2)$\frac {3}{2}$或-1

11. 如图,抛物线$y= \frac{3}{4}x^{2}+\frac{9}{4}x - 3与y轴交于点C$,与$x轴交于A$,$B$两点,点$A在点B$左侧.若点$D是线段AC$下方抛物线上的动点,过点$D作DF\perp x$轴,垂足为$F$,交直线$AC于点E$,求线段$DE$及$S_{\triangle ADC}$的最大值.
线段$DE$的最大值为3，$S_{\triangle ADC}$的最大值为6。

答案： 解：当$x=0$时，$\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3=-3$。
∴点 C 的坐标为$(0,-3)$。
当$\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3=0$时，解得$x_{1}=1,x_{2}=-4$，
$\therefore A(-4,0),B(1,0)$。
设直线 AC 的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
把$A(-4,0),C(0,-3)$分别代入$y=kx+b$中，得$\left\{\begin{array}{l} -4k+b=0,\\ b=-3,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {3}{4},\\ b=-3。\end{array}\right.$
∴直线 AC 的解析式为$y=-\frac {3}{4}x-3$。
设点 D 的坐标为$(t,\frac {3}{4}t^{2}+\frac {9}{4}t-3)$，则点 E 的坐标为$(t,-\frac {3}{4}t-3)$。
$\therefore DE=-\frac {3}{4}t-3-(\frac {3}{4}t^{2}+\frac {9}{4}t-3)=-\frac {3}{4}t^{2}-3t$。
∵抛物线$y=-\frac {3}{4}t^{2}-3t$的对称轴为直线$t=-\frac {-3}{2×(-\frac {3}{4})}=-2$，$-\frac {3}{4}＜0$，
∴当$t=-2$时，线段 DE 有最大值，最大值为 3。
$\because S_{△ADC}=\frac {1}{2}AO\cdot DE=2DE$，
$\therefore$当 DE 最大时，$S_{△ADC}$最大。
此时$S_{△ADC}=2×3=6$。