《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 如图,点A,B,C为$\odot O$上的三个点,连接OA,OB,OC,AB,延长AB,OC交于点D,$BD= OA$.若$∠D= 25^{\circ }$,则$∠AOB$的度数为____80°.

答案： 80°

9. 如图,半圆O的直径$AB= 8$,半径$OC⊥AB$,D为$\overset{\frown }{AC}$上一点,若$DE⊥OC,DF⊥OA$,垂足分别为E,F,则EF的长为____4.

答案： 4

10. 如图,AB是$\odot O$的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且$AE= BF$.求证:$OE= OF$.

证明：连接OA，OB。
∵OA = OB（同圆半径相等）
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）
在△OAE和△OBF中
$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle OAE=\angle OBF\\AE = BF\end{array}\right.$
∴△OAE≌△OBF(SAS)
∴OE = OF（全等三角形对应边相等）
故OE = OF得证。

答案： 连接$OA$，$OB$。
$\because OA = OB$（同圆半径相等）
$\therefore\angle OAB=\angle OBA$（等边对等角）
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中
$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle OAE=\angle OBF\\AE = BF\end{array}\right.$
$\therefore\triangle OAE\cong\triangle OBF(SAS)$
$\therefore OE = OF$（全等三角形对应边相等）
故$OE = OF$得证。

11. 如图,$△ABC和△ABD$都为直角三角形,且$∠C= ∠D= 90^{\circ }$.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.
证明:取$AB$中点$O$，连$OC$、$OD$。在$Rt\triangle ABC$中，$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore OC=\frac{1}{2}AB = OA = OB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。在$Rt\triangle ABD$中，$\because\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore OD=\frac{1}{2}AB = OA = OB$。$\therefore OA = OB = OC = OD$。$\therefore A$，$B$，$C$，$D$四点在以$O$为圆心，$OA$为半径的圆上，即$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上。

答案： 取$AB$中点$O$，连$OC$、$OD$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore OC=\frac{1}{2}AB = OA = OB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
在$Rt\triangle ABD$中，$\because\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore OD=\frac{1}{2}AB = OA = OB$。
$\therefore OA = OB = OC = OD$。
$\therefore A$，$B$，$C$，$D$四点在以$O$为圆心，$OA$为半径的圆上，即$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上。

12. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 6,BC= 8$,O为矩形ABCD的对角线的交点,P是以点A为圆心,半径为1的$\odot A$上的一个动点,连接PD,PO,OD,求$△PDO$的面积的最大值.

答案：
解:作PE⊥OD,延长DO至点B,如图所示.

∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴ BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
∴ $OD = \frac{1}{2}BD = 5$。
当PE过点A时,△PDO的面积最大,如图所示.

∴ PE = AP + AE。
∵ $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot AD = \frac{1}{2}AE \cdot BD$，
∴ $AE = \frac{AB \cdot AD}{BD} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{24}{5}$。
∴ $PE = 1 + \frac{24}{5} = \frac{29}{5}$。
∴ $S_{\triangle PDO} = \frac{1}{2}PE \cdot OD = \frac{1}{2} \times \frac{29}{5} \times 5 = \frac{29}{2}$。
∴△PDO的面积的最大值为 $\frac{29}{2}$。