《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

10.如图,已知正方形$ABCD$的边长为8,点$M和N分别从B$,$C$同时出发,以相同的速度沿$BC$,$CD向终点C$,$D$运动,连接$AM$,$BN$,交于点$P$,连接$PC$,则$PC$长的最小值为______$4\sqrt{5}-4$.

答案： $4\sqrt{5}-4$

11.(15分)(2024厦门十一中期中)如图,$AB是\odot O$的直径,$CD是\odot O$的弦,$CD\perp AB于点E$,点$F在\odot O$上,且$CF= CA$,连接$AF$.求证:$AF= CD$.

证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$（垂径定理）。
$\because CF = CA$，
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}=\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$。
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}+\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}+\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$，即$\overset{\LARGE{\frown}}{AF}=\overset{\LARGE{\frown}}{CD}$。
$\therefore AF = CD$（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等）。
综上，$AF = CD$得证。

答案： $\because AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$（垂径定理）。
$\because CF = CA$，
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}=\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$。
$\therefore\overset{\LARGE{\frown}}{CF}+\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=\overset{\LARGE{\frown}}{AD}+\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$，即$\overset{\LARGE{\frown}}{AF}=\overset{\LARGE{\frown}}{CD}$。
$\therefore AF = CD$（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等）。
综上，$\boldsymbol{AF = CD}$得证。

12.(15分)如图,$AB是\odot O$的直径,点$C在\odot O$上,$\angle ACB的平分线CD交\odot O于点D$.
(1)求证:$\triangle ABD$是等腰直角三角形;
(2)若$AC= 6$,$AD= 5\sqrt{2}$,求线段$BC$的长.8

答案：
(1)略
(2)8

13.(20分)如图,$AB为\odot O$的直径,$CD$是弦,且$AB\perp CD于点E$.连接$AC$,$OC$,$BC$.
(1)若$\angle ACO= 25^{\circ}$,求$\angle BCD$的度数为25°;
(2)若$EB= 4\mathrm{cm}$,$CD= 16\mathrm{cm}$,求$\odot O$的半径为10 cm.

答案：
(1)$25^{\circ}$
(2)10 cm