《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 已知$\tan \beta = 22.3$,则$\beta =$$87^{\circ}25'57''$(结果精确到$1''$)。

答案： $87^{\circ}25'57''$

9. 先用计算器分别求出$\sin 16^{\circ}$,$\sin 44^{\circ}$,$\sin 60^{\circ}$的值,再验证$\sin 16^{\circ} + \sin 44^{\circ}与\sin 60^{\circ}$是否相等(结果保留小数点后四位)。

答案： $\sin 16^{\circ}\approx0.2756$，$\sin 44^{\circ}\approx0.6947$，$\sin 60^{\circ}\approx0.8660$，$\sin 16^{\circ}+\sin 44^{\circ}\approx0.9703$，$\sin 16^{\circ}+\sin 44^{\circ}$与$\sin 60^{\circ}$不相等。

10. 在$\triangle ABC$中,若$(2\cos A - \sqrt{2})^{2} + |1 - \tan B| = 0$,则$\triangle ABC$一定是(D)
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法判断
D. 等腰直角三角形

答案： D

11. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的点,$\angle CDB = 30^{\circ}$。若过点$C作\odot O的切线交AB的延长线于点E$,则$\cos E$的值为______$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 75^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,$BC = 2\sqrt{2}$,求$AB$的长为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。

答案： $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

13. 类比思想构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现。例如,直接计算$\tan 15^{\circ}$比较麻烦,此时我们就可以用“数形结合”的思想求解。如图1,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,延长$CB到点D$,使$BD = AB$,连接$AD$,可得$\angle D = 15^{\circ}$。
设$AC = 1$,则$\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CD} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$。
如图2,类比上面提供的方法,请你将求解$\tan 22.5^{\circ}$的值的过程补充完整。
解：在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,$AC = 1$。

答案：
解:如图，延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,可得$∠D=22.5^{\circ}$.

在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ}$,$∠ABC=45^{\circ}$,$AC=1$.
$\therefore BC=AC=1$.
$\therefore AB=\sqrt{2}$.
$\therefore DC=\sqrt{2}+1$.
在$Rt△ADC$中,
$tanD=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.
$\therefore tan22.5^{\circ}=\sqrt{2}-1$.