《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. 已知m,n是一元二次方程$x^{2}+x-2024= 0$的两个实数根,则$m^{2}+2m+n$的值等于 (B)
A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

答案： B

变式 (2025福州闽清期中)已知a,b是方程$x^{2}+x-2025= 0$的两个实数根,则$a^{2}-b$的值为2026.

答案： 2026

8. (2025福州七中月考)直角三角形的两直角边长是方程$x^{2}-8x+14= 0$的两根,则它的斜边长为6.

答案： 6

9. 易错题 已知$x_{1}和x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}+2= 0$的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围; $m \leq -\frac{1}{2}$
(2)若两个实数根$x_{1}和x_{2}满足(x_{1}-x_{2})^{2}= 18-x_{1}x_{2}$,求实数m的值. -2

答案：
(1) $m \leq -\frac{1}{2}$
(2) -2

10. (2025漳州一检)已知实数m,n满足$m^{2}+bm+4= 0,n^{2}+bn+4= 0$,且$m≠n$.
(1)试说明:$b^{2}-16$的值恒为正数;
(2)求证:$\frac {1}{m^{2}}+\frac {1}{n^{2}}＞\frac {1}{2}$.

答案： 解：
(1) 由题意，得 $m$，$n$ 是一元二次方程 $x^{2}+bx + 4 = 0$ 的两个不等的实数根，
$\therefore \Delta = b^{2}-4\times1\times4 = b^{2}-16 ＞ 0$，
即 $b^{2}-16$ 的值恒为正数。
(2) 证明：$\because m$，$n$ 是一元二次方程 $x^{2}+bx + 4 = 0$ 的两个实数根，
$\therefore m + n = -b$，$mn = 4$。
$\therefore \frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}+m^{2}}{(mn)^{2}}=\frac{(n + m)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}=\frac{(-b)^{2}-2\times4}{4^{2}}=\frac{b^{2}-8}{16}$。
由
(1)，得 $b^{2}-16 ＞ 0$，
$\therefore b^{2} ＞ 16$。
$\therefore \frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}＞\frac{16 - 8}{16}=\frac{1}{2}$。