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阅读教材 $P_{2}\sim P_{4}$ 内容,归纳结论：
1. 定义：等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是______的方程,叫做一元二次方程。
2. 一般形式：$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$。其中 $ax^{2}$ 是二次项,______是二次项系数；$bx$ 是______,______是一次项系数；$c$ 是常数项。
注意：二次项系数 $a\neq0$ 是一个重要条件,不能漏掉。
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。
1. 定义：等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是______的方程,叫做一元二次方程。
2. 一般形式：$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$。其中 $ax^{2}$ 是二次项,______是二次项系数；$bx$ 是______,______是一次项系数；$c$ 是常数项。
注意：二次项系数 $a\neq0$ 是一个重要条件,不能漏掉。
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。
答案：
1. 2
2. a 一次项 b
3. 根
2. a 一次项 b
3. 根
1. 下列方程是关于 $x$ 的一元二次方程的是()
A. $ax^{2}+bx+c = 0$
B. $\frac{1}{x^{2}}+x = 2$
C. $x^{2}+2x = x^{2}-1$
D. $3x^{2}= 2x + 1$
A. $ax^{2}+bx+c = 0$
B. $\frac{1}{x^{2}}+x = 2$
C. $x^{2}+2x = x^{2}-1$
D. $3x^{2}= 2x + 1$
答案：
D
2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}+2mx - 3 = 0$ 的一个解为 $x = 1$,则 $m$ 的值为()
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
答案：
C
3. 若 $x = a$ 是方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的一个实数根,则 $2a^{2}+4a + 1$ 的值为______。
答案：
3
4.(教材 $P_{4}$ 练习 $T_{1}$)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$5x^{2}-1 = 4x$；
(2)$4x^{2}= 81$；
(3)$4x(x + 2)= 25$；
(4)$(3x - 2)(x + 1)= 8x - 3$。
(1)$5x^{2}-1 = 4x$；
(2)$4x^{2}= 81$；
(3)$4x(x + 2)= 25$；
(4)$(3x - 2)(x + 1)= 8x - 3$。
答案：
【解析】：
1. 对于方程$5x^{2}-1 = 4x$，移项可得$5x^{2}-4x - 1 = 0$，其中二次项系数是$5$，一次项系数是$-4$，常数项是$-1$。
2. 对于方程$4x^{2}= 81$，移项可得$4x^{2}-81 = 0$，其中二次项系数是$4$，一次项系数是$0$，常数项是$-81$。
3. 对于方程$4x(x + 2)= 25$，先展开式子得$4x^{2}+8x = 25$，再移项可得$4x^{2}+8x - 25 = 0$，其中二次项系数是$4$，一次项系数是$8$，常数项是$-25$。
4. 对于方程$(3x - 2)(x + 1)= 8x - 3$，先展开式子得$3x^{2}+3x - 2x - 2 = 8x - 3$，合并同类项得$3x^{2}+x - 2 = 8x - 3$，再移项可得$3x^{2}-7x + 1 = 0$，其中二次项系数是$3$，一次项系数是$-7$，常数项是$1$。
【答案】：1. 一般形式：$5x^{2}-4x - 1 = 0$，二次项系数：$5$，一次项系数：$-4$，常数项：$-1$ 2. 一般形式：$4x^{2}-81 = 0$，二次项系数：$4$，一次项系数：$0$，常数项：$-81$ 3. 一般形式：$4x^{2}+8x - 25 = 0$，二次项系数：$4$，一次项系数：$8$，常数项：$-25$ 4. 一般形式：$3x^{2}-7x + 1 = 0$，二次项系数：$3$，一次项系数：$-7$，常数项：$1$
1. 对于方程$5x^{2}-1 = 4x$，移项可得$5x^{2}-4x - 1 = 0$，其中二次项系数是$5$，一次项系数是$-4$，常数项是$-1$。
2. 对于方程$4x^{2}= 81$，移项可得$4x^{2}-81 = 0$，其中二次项系数是$4$，一次项系数是$0$，常数项是$-81$。
3. 对于方程$4x(x + 2)= 25$，先展开式子得$4x^{2}+8x = 25$，再移项可得$4x^{2}+8x - 25 = 0$，其中二次项系数是$4$，一次项系数是$8$，常数项是$-25$。
4. 对于方程$(3x - 2)(x + 1)= 8x - 3$，先展开式子得$3x^{2}+3x - 2x - 2 = 8x - 3$，合并同类项得$3x^{2}+x - 2 = 8x - 3$，再移项可得$3x^{2}-7x + 1 = 0$，其中二次项系数是$3$，一次项系数是$-7$，常数项是$1$。
【答案】：1. 一般形式：$5x^{2}-4x - 1 = 0$，二次项系数：$5$，一次项系数：$-4$，常数项：$-1$ 2. 一般形式：$4x^{2}-81 = 0$，二次项系数：$4$，一次项系数：$0$，常数项：$-81$ 3. 一般形式：$4x^{2}+8x - 25 = 0$，二次项系数：$4$，一次项系数：$8$，常数项：$-25$ 4. 一般形式：$3x^{2}-7x + 1 = 0$，二次项系数：$3$，一次项系数：$-7$，常数项：$1$
5.(教材 $P_{4}$ 练习 $T_{2}$)根据下列问题,列出关于 $x$ 的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25,求正方形的边长 $x$；
(2)一个矩形的长比宽多 2,面积是 100,求矩形的长 $x$；
(3)把长为 1 的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长 $x$。
(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25,求正方形的边长 $x$；
(2)一个矩形的长比宽多 2,面积是 100,求矩形的长 $x$；
(3)把长为 1 的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长 $x$。
答案：
【解析】：
1. （1）已知正方形边长为$x$，根据正方形面积公式$S = x^{2}$，4个完全相同的正方形面积之和为$4x^{2}$，因为4个正方形面积之和是25，所以可列方程$4x^{2}=25$，移项化为一元二次方程的一般形式为$4x^{2}-25 = 0$。
2. （2）因为矩形的长为$x$，长比宽多2，则宽为$x - 2$，根据矩形面积公式$S=长\times宽$，已知面积是100，可列方程$x(x - 2)=100$，去括号得$x^{2}-2x = 100$，移项化为一般形式为$x^{2}-2x - 100 = 0$。
3. （3）因为较短一段的长为$x$，木条全长为1，则较长一段的长为$1 - x$，由较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，可列方程$x\times1=(1 - x)^{2}$，去括号得$x = 1 - 2x+x^{2}$，移项化为一般形式为$x^{2}-3x + 1 = 0$。
【答案】：1.$4x^{2}=25$，$4x^{2}-25 = 0$ 2.$x(x - 2)=100$，$x^{2}-2x - 100 = 0$ 3.$x=(1 - x)^{2}$，$x^{2}-3x + 1 = 0$
1. （1）已知正方形边长为$x$，根据正方形面积公式$S = x^{2}$，4个完全相同的正方形面积之和为$4x^{2}$，因为4个正方形面积之和是25，所以可列方程$4x^{2}=25$，移项化为一元二次方程的一般形式为$4x^{2}-25 = 0$。
2. （2）因为矩形的长为$x$，长比宽多2，则宽为$x - 2$，根据矩形面积公式$S=长\times宽$，已知面积是100，可列方程$x(x - 2)=100$，去括号得$x^{2}-2x = 100$，移项化为一般形式为$x^{2}-2x - 100 = 0$。
3. （3）因为较短一段的长为$x$，木条全长为1，则较长一段的长为$1 - x$，由较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，可列方程$x\times1=(1 - x)^{2}$，去括号得$x = 1 - 2x+x^{2}$，移项化为一般形式为$x^{2}-3x + 1 = 0$。
【答案】：1.$4x^{2}=25$，$4x^{2}-25 = 0$ 2.$x(x - 2)=100$，$x^{2}-2x - 100 = 0$ 3.$x=(1 - x)^{2}$，$x^{2}-3x + 1 = 0$
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