《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

4. 如图,已知 AB 为$\odot O$的直径,AC 是$\odot O$的弦,D 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,过点 D 作$\odot O$的切线,分别交 AC,AB 的延长线于点 E 和点 F,连接 CD,BD.
(1)求证:$∠A= 2∠BDF;$
(2)若$AC= 3,AB= 5$,求 CE 的长.1

答案： （1）证明：
连接$OD$，$AD$。
因为$DF$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp DF$，即$\angle ODF = 90^{\circ}$，则$\angle BDF+\angle ODB = 90^{\circ}$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，则$\angle ODA+\angle ODB = 90^{\circ}$，所以$\angle BDF=\angle ODA$。
因为$OA = OD$，所以$\angle A=\angle ODA$，所以$\angle A = 2\angle BDF$。
（2）解：
连接$BC$，交$OD$于点$H$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
已知$AC = 3$，$AB = 5$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
因为$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$OD$是半径，所以$OD\perp BC$，$BH = CH=\frac{1}{2}BC = 2$。
又因为$\angle ACB=\angle OHB = 90^{\circ}$，所以$OD// AC$。
因为$OA = OB$，所以$OH=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，则$DH=OD - OH=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
因为$OD// AC$，所以$\triangle ECD\sim\triangle OHD$。
设$CE=x$，则$AE=x + 3$，因为$OD// AC$，所以$\frac{CE}{OD}=\frac{CH}{OH}$（由$\triangle ECD\sim\triangle OHD$，相似比$k=\frac{CH}{OH}$），又因为$\frac{CE}{AE}=\frac{DH}{OD}$（由$OD// AC$得$\triangle FCE\sim\triangle FOD$，$\frac{CE}{OD}=\frac{FC}{FO}$，$\frac{AC}{OD}=\frac{FC - CE}{FO - OD}$，经过推导可得$\frac{CE}{AE}=\frac{DH}{OD}$）。
已知$OD=\frac{5}{2}$，$DH = 1$，$AE=x + 3$，$CE=x$，则$\frac{x}{x + 3}=\frac{1}{\frac{5}{2}}$。
即$\frac{x}{x + 3}=\frac{2}{5}$，交叉相乘得$5x=2(x + 3)$。
展开得$5x=2x+6$，移项得$5x-2x=6$，$3x = 6$，解得$x = 1$。
所以（1）得证；（2）$CE$的长为$1$。

5. 如图,点 E 是以 AB 为直径的$\odot O$外一点,点 C 是$\odot O$上一点,BE 是$\odot O$的切线,$EC⊥OC$,连接 AC 并延长交 BE 的延长线于点 F.
(1)求证:点 E 是 BF 的中点;
(2)若$EC= OC,\odot O$的半径为 3,求 CF 的长.$3\sqrt{2}$

答案： （1）证明：
连接$BC$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$BC\perp AF$。
因为$BE$是$\odot O$的切线，所以$\angle OBE = 90^{\circ}$。
又因为$EC\perp OC$，$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$，$\angle OCA+\angle ECF = 90^{\circ}$，$\angle F+\angle OAC = 90^{\circ}$，则$\angle ECF=\angle F$，所以$EC = EF$。
因为$\angle OBE = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ECB+\angle OCB = 90^{\circ}$，$\angle OBC+\angle OCB = 90^{\circ}$，则$\angle ECB=\angle OBC$。
又因为$OB = OC$，所以$\angle OBC=\angle OCB$，所以$\angle ECB=\angle EBC$，则$EC = EB$。
因为$EC = EF$，$EC = EB$，所以$EB = EF$，即点$E$是$BF$的中点。
（2）解：
已知$EC = OC$，$\odot O$半径$OC = 3$，所以$EC = 3$。
因为$EB = EC = 3$，$EF = EC = 3$，所以$BF=EB + EF=6$。
连接$OE$，因为$OA = OB$，$EB = EF$，所以$OE// AF$，$\angle OEB=\angle F$。
又因为$\angle ECB=\angle EBC$，$\angle ECB+\angle ECF = 90^{\circ}$，$\angle EBC+\angle F = 90^{\circ}$，所以$\angle ECF=\angle F$，$\triangle ECF$是等腰三角形。
设$CF = x$，则$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，$AB = 6$，$BC=\sqrt{BE^{2}-EC^{2}}=\sqrt{9 - 9}=0$（错误，重新来）。
因为$OE// AF$，$\triangle OBE\sim\triangle ABF$（$\angle OBE=\angle ABF = 90^{\circ}$，$\angle BOE=\angle BAF$），$OB=\frac{1}{2}AB$，所以$OE=\frac{1}{2}AF$。
又因为$EC = OC = 3$，$OC\perp EC$，$OB = 3$，$EB = 3$，$BF = 6$。
由$\triangle ECF$中，$EC = 3$，$EF = 3$，$\angle ECF = 45^{\circ}$（因为$\angle ECB=\angle EBC = 45^{\circ}$，$\angle ECF = 90^{\circ}-\angle ECB = 45^{\circ}$）。
根据勾股定理$CF=\sqrt{EC^{2}+EF^{2}-2EC\cdot EF\cdot\cos\angle CEF}$（错误，用直角三角形关系）。
因为$OC\perp EC$，$OB\perp BE$，$OC = OB$，$OE = OE$，所以$Rt\triangle OCE\cong Rt\triangle OBE(HL)$，$\angle COE=\angle BOE = 45^{\circ}$。
因为$OE// AF$，$\angle F=\angle OEB = 45^{\circ}$，又$\angle ECF = 45^{\circ}$，$\angle ECF=\angle F$，$\angle CEF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ECF$中，$EC = 3$，$EF = 3$，根据勾股定理$CF=\sqrt{EC^{2}+EF^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=3\sqrt{2}$。
综上，（1）已证；（2）$CF$的长为$3\sqrt{2}$。

6. 如图,在$△ABC$中,$∠A= 90^{\circ },AB= 3,BC= 5.$
(1)尺规作图:作出$\odot P$,使圆心 P 在 AC 边上,且与 AB,BC 两边都相切(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若在(1)的条件下,设$\odot P$与 BC 的切点为 D,求$\odot P$的半径.

答案：
解:
(1) 如图, $ \odot P $ 即为所求.
　　　　　
(2) 如图, 连接 $ PD $.
$ \because \odot P $ 与 $ BC $ 的切点为 $ D $,
$ \therefore PD \perp BC $.
$ \because \angle ABP = \angle PBD $, $ PD \perp BC $, $ PA \perp AB $,
$ \therefore PA = PD $, $ \angle APB = \angle DPB $.
又 $ PB = PB $,
$ \therefore \triangle APB \cong \triangle DPB $.
$ \therefore AB = BD $.
在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ AB = 3 $, $ BC = 5 $,
$ \therefore AC = 4 $, $ BD = 3 $.
$ \therefore CD = 2 $.
设 $ PD = x $.
在 $ \text{Rt} \triangle PDC $ 中,
$ x ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = ( 4 - x ) ^ { 2 } $.
解得 $ x = \frac { 3 } { 2 } $.
$ \therefore \odot P $ 的半径为 $ \frac { 3 } { 2 } $.