《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,P为等边三角形ABC内一点,$\angle BPC = 150^{\circ}$,$PC = 5$,$PB = 10$,求PA的长.$5\sqrt{5}$

答案： $5\sqrt{5}$

2. 如图,在四边形ABCD中,$AB = BC$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$\angle ADC = 30^{\circ}$,$AD = 4$,$BD = 6$,求CD的长.$2\sqrt{5}$

答案： 1. 首先，连接$AC$：
因为$AB = BC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$\triangle ABC$是等边三角形。
那么$AB = BC = AC$，$\angle BAC=\angle BCA = 60^{\circ}$。
2. 然后，将$\triangle ABD$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$：
设点$D$旋转后的对应点为$D'$，则$AD = AD'$，$\angle DAD'=60^{\circ}$，$BD = CD'$。
因为$AD = AD'$，$\angle DAD' = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理，$\triangle ADD'$是等边三角形。
所以$DD'=AD = 4$，$\angle ADD' = 60^{\circ}$。
3. 接着，求$\angle CDD'$的度数：
已知$\angle ADC = 30^{\circ}$，则$\angle CDD'=\angle ADC+\angle ADD'=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$。
4. 最后，在$Rt\triangle CDD'$中求$CD$的长：
由旋转可知$CD' = BD = 6$，$DD' = 4$。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在$Rt\triangle CDD'$中，$CD'^{2}=CD^{2}+DD'^{2}$，这里$CD'$为斜边），则$CD=\sqrt{CD'^{2}-DD'^{2}}$。
把$CD' = 6$，$DD' = 4$代入可得：$CD=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
所以$CD$的长为$2\sqrt{5}$。

3. 如图,P是等边三角形ABC外一点,$PA = 3$,$PB = 4$,$PC = 5$,求$\angle BPA$的度数.$30^{\circ}$

答案： $30^{\circ}$

4. 如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若$AP = 6$,$BP = 8$,$CP = 10$,求$S_{\triangle ABP} + S_{\triangle BPC}$的值.

$16\sqrt{3}+24$

答案： $16\sqrt{3}+24$