《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

数学综合实践课上,同学们以“等腰三角形的旋转”为主题,开展如下探究活动：

【操作探究】(1)如图1,$\triangle ABC$为等边三角形,将$\triangle ABC绕点A旋转180^{\circ}$,得到$\triangle ADE$,连接$BE$,则$\angle EBC= $90$^{\circ}$。若$F是BE$的中点,连接$AF$,则$AF与DE$的数量关系是$AF=\frac{1}{2}DE$。
【迁移探究】(2)如图2,将(1)中的$\triangle ABC绕点A逆时针旋转30^{\circ}$,得到$\triangle ADE$,其他条件不变,求出此时$\angle EBC的度数及AF与DE$的数量关系。
【拓展应用】(3)如图3,在$Rt\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$中,$A_{1}B_{1}= A_{1}C_{1}= 2$,$\angle B_{1}A_{1}C_{1}= 90^{\circ}$,将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}绕点A_{1}$旋转,得到$\triangle A_{1}D_{1}E_{1}$,连接$B_{1}E_{1}$,$F_{1}是B_{1}E_{1}$的中点,连接$A_{1}F_{1}$。在旋转过程中,当$\angle E_{1}B_{1}C_{1}= 15^{\circ}$时,直接写出线段$A_{1}F_{1}$的长。

答案： 综合与实践
解：
(1)90 $AF=\frac{1}{2}DE$
(2)由旋转的性质，可知 $AB = AD = AE = DE$，$\angle BAD = 30^{\circ}$，$\angle DAE=\angle BAC = 60^{\circ}$，
$\because \angle BAE=\angle BAD+\angle DAE = 90^{\circ}$．
$\therefore \triangle ABE$ 是等腰直角三角形．
$\therefore \angle ABE = 45^{\circ}$．
$\therefore \angle EBC=\angle ABC-\angle ABE = 15^{\circ}$．
$\because F$ 是 $BE$ 的中点，
$\therefore AF = BF$．
$\therefore$ 在 $\triangle ABF$ 中，$AF^{2}+BF^{2}=2AF^{2}=AB^{2}$．
$\therefore AF=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$．
$\therefore AF=\frac{\sqrt{2}}{2}DE$．
综上所述，此时 $\angle EBC$ 的度数为 $15^{\circ}$，$AF=\frac{\sqrt{2}}{2}DE$．
(3)$\sqrt{3}$ 或 $1$