《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 已知线段$a = 1$,$b = 9$,若线段$c是线段a$,$b$的比例中项,则$c$的值为(C)
A. 1
B. $\pm 3$
C. 3
D. 9

答案： C

9. 若$\frac{a}{a + 2b}= \frac{3}{5}$,则$\frac{a}{b}$的值为______3．

答案： 3

10. (教材$P_{28}T_{6}$变式)如图,矩形$ABCD的长AB = 30$,宽$BC = 20$．
(1)如图1,若矩形$ABCD四周内有宽为1$的环形区域,则图中所形成的两个矩形$ABCD与A'B'C'D'$相似吗？请说明理由．不相似，理由略
(2)如图2,当$x$为多少时,图中的两个矩形相似？1.5 或 9

答案：
(1)不相似，理由略
(2)1.5 或 9

11. 综合与实践(教材$P_{28}T_{8}$变式)形状相同(长与宽之比相等)的矩形是相似矩形,已知一个矩形的长为$a(a≥1)$,宽为$1$．

(1)如图1,将矩形分割为一个正方形(阴影部分)和一个小矩形,若小矩形恰与原矩形相似,则$a$的值为______．
(2)如图2,将矩形分割为两个小矩形,使每个小矩形均与原矩形相似,则$a$的值为______．
(3)将矩形分割为三个矩形,使每个小矩形均与原矩形相似．画出满足条件的一种分割方案的示意图,并求出对应的$a$的值．

答案：
解：
(1)$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(2)$\sqrt{2}$
(3)有以下四种方案可供选择：
方案 1：如图，沿原矩形的长三等分。

∵小矩形和原矩形的长、宽比都为$a$，且每个小矩形的长均为 1，
∴每个小矩形的宽均为$\frac{1}{a}$。
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=a$。
∴$a^{2}=3$。
解得$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$(舍去)。
∴$a=\sqrt{3}$。
方案 2：如图，先沿原矩形的长将矩形分割为两个小矩形，再沿原矩形的宽将右边矩形二等分，使上、下两个更小的矩形的宽都为$\frac{1}{2}$。

根据原矩形的长、宽比为$a$，得左边矩形的宽为$\frac{1}{a}$，右边矩形的长为$\frac{a}{2}$。
∴$\frac{1}{a}+\frac{a}{2}=a$。
∴$a^{2}=2$。
解得$a=\sqrt{2}$或$a=-\sqrt{2}$(舍去)。
∴$a=\sqrt{2}$。
方案 3：如图，先沿原矩形的长将矩形分割为两个小矩形，再沿原矩形的宽将右边矩形二等分，使上、下两个更小的矩形的长都为$\frac{1}{2}$。

根据原矩形的长、宽比为$a$，得左边矩形的宽为$\frac{1}{a}$，右边矩形的宽为$\frac{1}{2a}$。
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}=a$。
∴$a^{2}=\frac{3}{2}$。
解得$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$或$a=-\frac{\sqrt{6}}{2}$(舍去)。
∴$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
方案 4：如图，先沿原矩形的长将矩形分割为两个小矩形，再沿原矩形的宽将右边矩形分割为上、下两个小矩形，使两个小矩形的长与宽的和为 1。

根据原矩形的长、宽比为$a$，得左边矩形的宽为$\frac{1}{a}$。
∴右上方小矩形的宽与右下方小矩形的长均为$(a-\frac{1}{a})$。
∴右上方小矩形的长为$a(a-\frac{1}{a})=a^{2}-1$，右下方小矩形的宽为$(a-\frac{1}{a})\frac{1}{a}=1-\frac{1}{a^{2}}$。
∴$(a^{2}-1)+(1-\frac{1}{a^{2}})=1$。
∴$a^{2}-\frac{1}{a^{2}}=1$。
设$a^{2}=x$，则$x-\frac{1}{x}=1$。
∴$x^{2}-x-1=0$。
解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$(舍去)。
∴$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
∴$a=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$(负值已舍去)。
(答案不唯一，以上四种方案选其一即可)