《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,在$\odot O$中,点A,B,C在圆上,且$OC⊥AB$,垂足为D.若$∠BOC= 45^{\circ },OB= 2\sqrt {2}$,则AB的长为 (D)

A.$\sqrt {2}$
B. 2
C.$2\sqrt {2}$
D. 4

答案： D

2. (2024福州屏东中学月考)唐代李皋发明的“桨轮船”如图1所示.某桨轮船的轮子被水面截得AB为10,轮子的吃水深度CD为3,如图2所示,则该桨轮船的轮子半径为 (B)

A.$\frac {34}{3}$
B.$\frac {17}{3}$
C.$\frac {8}{3}$
D. 6

答案： B

3. 如图,$\odot O的直径AB= 10cm$,C是$\odot O$上一点.若点D平分$\widehat {BC},DE= 2cm$,则弦$AC= $6cm.

答案： 6

4. 易错题在$\odot O$中,点C为弦AB的中点,过点C的直径交$\odot O$于点D,E.若$AB= 8cm,OD= 5cm$,则CD的长为2 cm 或 8 cm.

答案： 2 cm 或 8 cm

5. 如图,圆内接四边形ABDC,AB是$\odot O$的直径,$OD// AC$交BC于点E.
(1)求证:$BD= CD;$
(2)若$BE= 2,AC= 4$,求DE的长.$2\sqrt {2}-2$

答案：
(1)略
(2)$2\sqrt {2}-2$

6. 如图,已知直线PA交$\odot O$于A,B两点,AE是$\odot O$的直径,点C为$\odot O$上一点,且AC平分$∠PAE$,过点C作$CD⊥PA$,垂足为D,连接OC,过点O作$OF⊥AB$于点F.
(1)求证:四边形OCDF为矩形;
(2)若$\odot O$的直径为10,且$DC+DA= 6$,求AB的长.

(1)证明:$\because OA=OC,$
$\therefore ∠OCA=∠OAC.$
$\because AC$平分$∠PAE,$
$\therefore ∠DAC=∠OAC.$
$\therefore ∠DAC=∠OCA.$
$\therefore$PA// OC.
$\because CD⊥$PA,$OF⊥AB,$
$\therefore ∠OCD=∠CDA=∠OFD$
$=90^{\circ }.$
∴四边形$OCDF$为矩形.
(2)$∵$四边形$OCDF$为矩形,
$\therefore OC=FD,OF=CD.$
$\because$DC+DA=6,
设$AD=x$,则$OF=CD=6-x.$
$\because \odot O$的直径为 10,
$\therefore DF=OC=$5.
$\therefore AF=$5-x.
在$Rt△AOF$中,由勾股定理,得
$AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}.$
即$(5-x)^{2}+(6-x)^{2}=$5².
解得$x_{1}=$2,$x_{2}=$9.
$\because CD=6-x＞0,$
$\therefore x=9$舍去.
$\therefore x=2.$
$\therefore AD=2,AF=5-2=$3.
$\because FO⊥AB,$
∴由垂径定理知,F 为 AB 的中点.
$\therefore AB=2AF=$6.

答案： 解:
(1)证明:$\because OA=OC,$
$\therefore ∠OCA=∠OAC.$
$\because AC$平分$∠PAE,$
$\therefore ∠DAC=∠OAC.$
$\therefore ∠DAC=∠OCA.$
$\therefore PB// OC.$
$\because CD⊥BP,OF⊥AB,$
$\therefore ∠OCD=∠CDA=∠OFD$
$=90^{\circ }.$
∴四边形$OCDF$为矩形.
(2)$∵$四边形$OCDF$为矩形,
$\therefore OC=FD,OF=CD.$
$\because DC=DA=6,$
设$AD=x$,则$OF=CD=6-x.$
$\because \odot O$的直径为 10,
$\therefore DF=OC=5.$
$\therefore AF=5-x.$
在$Rt△AOF$中,由勾股定理,得
$AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}.$
即$(5-x)^{2}+(6-x)^{2}=5^{2}.$
解得$x_{1}=2,x_{2}=9.$
$\because CD=6-x＞0,$
$\therefore x=9$舍去.
$\therefore x=2.$
$\therefore AD=2,AF=5-2=3.$
$\because FO⊥AB,$
∴由垂径定理知,F 为 AB 的中点.
$\therefore AB=2AF=6.$