《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7.易错题：已知关于$x的一元二次方程(m + 1)x^2 - 2x - 1 = 0$有实数根,则$m$的取值范围是 (C)
A. $m \geq -2$
B. $m \leq -2$
C. $m \geq -2且m \neq -1$
D. $m ＞ -2且m \neq -1$

答案： C

8.已知关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0$(其中$a$,$b$,$c$为常数),若点$M(a,c)$在第四象限,则该方程的根的情况为 (A)
A. 有两个不等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断

答案： A

9.已知关于$x的一元二次方程x^2 + 2mx + 2(m - 1) = 0$,求证：该方程有两个不等的实数根。

答案： 所以该一元二次方程$x^2 + 2mx + 2(m - 1) = 0$有两个不等的实数根。

10.(2025福州连江期中)已知关于$x的一元二次方程mx^2 + nx + \frac{1}{4} = 0$有两个相等的实数根,求证：$m - 2n + 1$是非负数。

答案： 因为关于$x$的一元二次方程$mx^2 + nx + \frac{1}{4} = 0$有两个相等的实数根，所以$\Delta = n^2 - 4m\times\frac{1}{4}=0$，即$n^2 - m = 0$，$m = n^2$。
将$m = n^2$代入$m - 2n + 1$得$m - 2n + 1=n^2 - 2n + 1=(n - 1)^2$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，所以$(n - 1)^2\geqslant0$，即$m - 2n + 1\geqslant0$，所以$m - 2n + 1$是非负数。

11.新定义：定义：若关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)满足b = a + c$,则称该方程为“和谐方程”。
(1)下列属于和谐方程的是______①③(填序号)。
①$x^2 + 2x + 1 = 0$；②$x^2 - 2x + 1 = 0$；③$x^2 + x = 0$。
(2)求证：“和谐方程”总有实数根。
(3)已知$x^2 + mx + n + 1 = 0是关于x$的“和谐方程”,若负整数$n$是此“和谐方程”的一个根,求$n$的值。-1

答案： 解:
(1)①③
(2)证明:
∵关于 x 的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$为“和谐方程”，
$\therefore b=a+c$.
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=(a-c)^{2}≥0$.
∴“和谐方程”总有实数根.
(3)$\because x^{2}+mx+n+1=0$是关于x 的“和谐方程”，
$\therefore m=2+n$.
∵n 是此“和谐方程”的一个根，
$\therefore n^{2}+(2+n)n+n+1=0$,即$2n^{2}+3n+1=0$.
解得$n_{1}=-\frac {1}{2}$(舍去),$n_{2}=-1$.
∴n 的值为-1.