《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

9. 用反证法证明命题“已知$\triangle ABC,AB= AC$,求证:$∠B＜90^{\circ }$”.第一步应先假设$∠B≥90^{\circ }$.

答案： $∠B≥90^{\circ }$

10. 我们可以用反证法来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60^{\circ }$”.
假设三角形所有内角都大于$60^{\circ }$,则三角形的三个内角的和大于$180^{\circ }$,这与三角形的内角和是$180^{\circ }$矛盾.
所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60^{\circ }$.

答案： 三角形所有内角都大于$60^{\circ }$　　三角形的内角和是$180^{\circ }$

11. 如图,矩形 ABCD 的边$AB= 3cm,AD= 4cm$.
(1)若以点 A 为圆心,4 cm 为半径作$\odot A$,求点 B,C,D 与$\odot A$的位置关系;点B在$\odot A$内，点D在$\odot A$上，点C在$\odot A$外
(2)若以点 A 为圆心作$\odot A$,使 B,C,D 三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,求$\odot A$的半径 r 的取值范围.$3＜r＜5$

答案：
(1)点B在$\odot A$外，点D在$\odot A$上，点C在$\odot A$外
(2)$3＜r＜5cm$

12. 如图,已知$\triangle ABC$.
(1)尺规作图:作$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$AC= 4,∠B= 45^{\circ }$,求$\triangle ABC$的外接圆的半径.$2\sqrt{2}$

答案：
(1)略　
(2)$2\sqrt {2}$

13. 如图,在四边形 ABCD 中,$∠A= 90^{\circ },AB= 5\sqrt {3},BC= 8,CD= 6,AD= 5$. 求证:A,B,C,D 四点在同一个圆上.

答案：
证明:如图，连接BD,取BD的中点为点O,连接OC,OA.
　　　　　
　　$\because ∠A=90^{\circ },AB=5\sqrt {3},AD=5,$
　　$\therefore BD=\sqrt {AD^{2}+AB^{2}}=10.$
　　又$BC=8,CD=6,6^{2}+8^{2}=10^{2},$
　　$\therefore CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}.$
　　$\therefore ∠BCD=90^{\circ }.$
　　$\therefore OA=OB=OC=OD=\frac {1}{2}BD.$
　　$\therefore$ 点A，B，C，D在同一个圆上.