《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中,函数$y与自变量x$的部分对应值如表,则$\frac{b(a - b + c)}{2a}$的值是______-20.

答案： -20

6. (2024福建)如图,已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,其中$A(-2,0)$,$C(0,-2)$.
(1)求二次函数的解析式；
$y=x^{2}+x-2$
(2)若$P$是二次函数图象上的一点,且点$P$在第二象限,线段$PC交x轴于点D$,$\triangle PDB的面积是\triangle CDB的面积的2$倍,求点$P$的坐标.
$P(-3,4)$

答案：
(1)$y=x^{2}+x-2$
(2)$P(-3,4)$

7. 如图,抛物线$y = x^{2}+bx + c与直线y= \frac{1}{2}x - 3交于A$,$B$两点,其中点$A在y$轴上,点$B的坐标为(-4,-5)$,点$P为y$轴左侧的抛物线上一动点.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当点$P运动到直线AB$下方某一处时,过点$P作PM\perp AB$,垂足为$M$,连接$PA$,当$\triangle PAM$为等腰直角三角形时,请求出此时点$P$的坐标.

答案：
解：
(1)
∵直线$y=\frac{1}{2}x - 3$与$y$轴交于点$A$，
∴$A(0,-3)$。
把$A(0,-3),B(-4,-5)$分别代入$y=x^{2}+bx+c$，
得$\begin{cases}c = -3\\16 - 4b + c = -5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = \frac{9}{2}\\c = -3\end{cases}$
∴抛物线的函数解析式为$y = x^{2}+\frac{9}{2}x - 3$。
(2)如图，过点$M$作直线$l// y$轴，过点$A$作$AN⊥l$于点$N$，过点$P$作$PQ⊥l$于点$Q$。

由题意，得$PM⊥AB$且$AM = PM$。
∵$∠ANM = ∠MQP = ∠AMP = 90^{\circ}$，
∴$∠NMA + ∠NAM = ∠NMA + ∠QMP = 90^{\circ}$。
∴$∠NAM = ∠QMP$。
∴$\triangle PMQ≌\triangle MAN$。
∴$MN = PQ$，$MQ = AN$。
设$M(m,\frac{1}{2}m - 3)$。
∵$A(0,-3)$，
∴$N(m,-3)$。
∴$Q(m,\frac{3}{2}m - 3)$。
∴$PQ = MN = -\frac{1}{2}m = x_{P} - x_{Q} = x_{P} - m$。
∴$x_{P} = \frac{1}{2}m$，
$y_{P} = y_{Q} = \frac{3}{2}m - 3$。
∴$\frac{3}{2}m - 3 = (\frac{1}{2}m)^{2}+\frac{9}{2}×\frac{1}{2}m - 3$。
解得$m = -3$或$m = 0$（舍去）。
∴$P(-\frac{3}{2},-\frac{15}{2})$。