《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

数学活动小组开展课外实践活动,他们利用周末去测量某建筑物(如图1)的高度,携带的工具有:皮尺、自制测角仪.皮尺(如图2)的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(两点间的距离不大于皮尺的测量长度);借助自制测角仪(如图3)可以在任一点P处,通过测量和计算得到视线PO与水平方向PQ的仰角(或俯角)$∠OPQ$的大小.

该小组预设了如下方案(如图4):
Ⅰ.在该建筑物MN的附近较空旷的平地上选择一点A,点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置,用自制测角仪获取最高处点M的仰角$∠MBC= α;$
Ⅱ.用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离$AB= am$,以及测量点A与大楼底部N的水平距离$AN= bm;$
Ⅲ.由实际背景可知四边形ABCN为矩形,$\therefore CN= $①am,$BC= $②bm;
Ⅳ.在$Rt△BCM$中,$MC= $③$b\cdot \tan \alpha$m,$\therefore建筑物的高MN= $④$b\cdot \tan \alpha +a$m.
(1)请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容.
(2)在现场实践时,发现由于客观原因,无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离,即无法获得AN的长.请你利用所带工具设计可行的测量方案,并利用解直角三角形的知识,求MN的高度(要求:测量长度和角度的次数均不超过两次,且测量得到的长度用字母a,b表示,角度用α,β表示).
解：在建筑物MN附近选择一点A，测量人员在A处，眼睛位置为B，测得M的仰角为α，AB=a m；再在A点同一方向上选择另一点C，AC=b m，测量人员在C处，眼睛位置为D，测得M的仰角为β，CD=a m（测量人员眼睛到地面距离相同）。设BC=x m，则BD=BC+CD=x+b m。在Rt△BME中，ME=xtanα；在Rt△DME中，ME=(x+b)tanβ。所以xtanα=(x+b)tanβ，解得x=btanβ/(tanα-tanβ)，则MN=ME+a=btanαtanβ/(tanα-tanβ)+a。

答案：
(1)①a ②b ③$b\cdot \tan \alpha$ ④$(b\cdot \tan \alpha +a)\cdot \tan \alpha$
(2)略