《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,一次函数 $ y = mx + n ( m \neq 0 ) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 ) $ 的图象交于点 $ A ( - 3 , a ) $,$ B ( 1 , 3 ) $,且一次函数与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C $,$ D $．

(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
反比例函数的解析式为$ y = \frac{3}{x} $，一次函数的解析式为$ y = x + 2 $
(2) 根据图象直接写出不等式 $ m x + n ＜ \frac { k } { x } $ 的解集；
$ x ＜ -3 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
(3) 在第三象限的反比例函数图象上有一点 $ P $,使得 $ S _ { \triangle O C P } = 4 S _ { \triangle O B D } $,求点 $ P $ 的坐标．
$ P(-\frac{3}{4}, -4) $

答案：
(1) 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $，一次函数的解析式为 $ y = x + 2 $
(2) $ x ＜ -3 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
(3) $ P(-\frac{3}{4}, -4) $

2. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 $ y = \frac { 16 } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象与正比例函数 $ y = a x ( a ＞ 0 ) $ 的图象交于第一象限内的点 $ A ( n , n ) $．
(1) 如图 1,点 $ B ( 2 n , n - 2 ) $ 也在这个反比例函数的图象上,过点 $ B $ 作 $ y $ 轴的平行线,交 $ x $ 轴于点 $ N $,交直线 $ y = a x ( a ＞ 0 ) $ 于点 $ D $．求点 $ D $ 的坐标及 $ \triangle A O B $ 的面积；点 $ D $ 的坐标为(8, 8)，$ \triangle A O B $ 的面积为12
(2) 如图 2,过反比例函数图象上一点 $ P $ 作 $ PE \perp $ 直线 $ y = a x ( a ＞ 0 ) $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF \perp x $ 轴于点 $ F $,过点 $ P $ 作 $ PG \perp EF $ 于点 $ G $,记 $ \triangle E O F $ 的面积为 $ S _ { 1 } $,$ \triangle P E G $ 的面积为 $ S _ { 2 } $,求 $ S _ { 1 } - S _ { 2 } $ 的值．$ S _ { 1 } - S _ { 2 } $ 的值为8

答案：
(1) $ D(8, 8) $，$ S_{\triangle AOB} = 12 $
(2) 8