《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. (2025厦门六中期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AB为直径作\odot O$,交$BC于点D$,交$CA的延长线于点E$,连接$AD$,$DE$．
(1)求证：$BD= CD$；
(2)若$AB= 5$,$AD= 3$,求$DE$的长．

(1)略　　(2)4

答案：
(1)略　　
(2)4

9. (教材$P_{88}T_{3}$改编)如图,$OA$,$OB$,$OC都是\odot O$的半径,$\angle ACB= 2\angle BAC$．若$\angle BOC= 46^{\circ }$,则$\angle AOB$的度数是(C)

A. $84^{\circ }$
B. $90^{\circ }$
C. $92^{\circ }$
D. $108^{\circ }$

答案： C

10. 如图,已知$\triangle ABC$,以$AB为直径的半圆交AC于点D$,交$BC于点E$．若$\angle C= 65^{\circ }$,则$\angle DOE$的度数为$50^{\circ}$．

答案： $50^{\circ}$

11. (2025福州江南水都中学月考)如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,$AB为\odot O$的直径,$CD平分\angle ACB$,交$\odot O于点D$,连接$AD$,点$E在弦CD$上,且$ED= AD$,连接$AE$．
(1)求证：$\angle BAE= \angle CAE$；
(2)若$\angle B= 60^{\circ }$,$AB= 8$,求$AE$的长．

答案：
解:
(1)证明:
∵ED=AD,
　
∴∠DEA=∠DAE.
　
∴ ∠DCA + ∠CAE = ∠DAB+∠BAE.
　
∵CD平分∠ACB,
　
∴∠DCA=∠DCB.
　
∵$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{DB}$
　
∴∠DAB=∠DCB.
　
∴∠DAB=∠DCA,
　
∴∠BAE=∠CAE.
(2)如图，连接BD.
　　　　　　
　
∵AB为⊙O的直径，
　
∴∠ACB=∠ADB=90°.
　
∵CD平分∠ACB,AB=8,
　
∴∠DCA=∠DCB.
　
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
　
∴AD=BD.
　
∴在Rt△ABD中,$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=2AD^{2}$，即$8^{2}=2AD^{2}$
　　解得$AD = 4\sqrt{2}$
　
∵∠ABC = $60^{\circ}$
　
∴∠ADC=∠ABC = $60^{\circ}$
　
∵ED = AD
　
∴△EAD为等边三角形.
　
∴AE = AD = $4\sqrt{2}$