《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x-3)^{2}-4= 0$；$x_{1}=5,x_{2}=1$
(2)$2x^{2}-4x-1= 0$；$x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{2},x_{2}=1-\frac {\sqrt {6}}{2}$
(3)$x^{2}+4x+2= 0$；$x_{1}=-2+\sqrt {2},x_{2}=-2-\sqrt {2}$
(4)$x^{2}+3\sqrt {5}x-9= 0$；$x_{1}=\frac {-3\sqrt {5}+9}{2},x_{2}=\frac {-3\sqrt {5}-9}{2}$
(5)$x^{2}+7x-18= 0$；$x_{1}=-9,x_{2}=2$
(6)$3(x-5)^{2}= 10-2x$．$x_{1}=5,x_{2}=\frac {13}{3}$

答案：
(1)$x_{1}=5,x_{2}=1$
(2)$x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{2},x_{2}=1-\frac {\sqrt {6}}{2}$
(3)$x_{1}=-2+\sqrt {2},x_{2}=-2-\sqrt {2}$
(4)$x_{1}=\frac {-3\sqrt {5}+9}{2},x_{2}=\frac {-3\sqrt {5}-9}{2}$
(5)$x_{1}=-9,x_{2}=2$
(6)$x_{1}=5,x_{2}=\frac {13}{3}$

2. 请阅读下列材料：
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$,我们可以将$x^{2}-1$看成一个整体．
设$x^{2}-1= y$,则原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$．①
解得$y_{1}= 1$,$y_{2}= 4$．
当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1$．
$\therefore x^{2}= 2$．$\therefore x= \pm \sqrt {2}$．
当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4$．
$\therefore x^{2}= 5$．$\therefore x= \pm \sqrt {5}$．
$\therefore原方程的根为x_{1}= \sqrt {2}$,$x_{2}= -\sqrt {2}$,$x_{3}= \sqrt {5}$,$x_{4}= -\sqrt {5}$．
请根据材料,解答下列问题：
(1)在由原方程得到方程①的解题过程中,利用换元法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想；
(2)请利用材料中的方法解方程：$(x^{2}+3)^{2}-9(x^{2}+3)+20= 0$．
解：设$x^{2}+3=y$，
则原方程可化为$y^{2}-9y+20=0$。
解得$y_{1}=4,y_{2}=5$。
当$y=4$时，$x^{2}+3=4$。
$\therefore x^{2}=1$。
$\therefore x=\pm 1$。
当$y=5$时，$x^{2}+3=5$。
$\therefore x^{2}=2$。
$\therefore x=\pm \sqrt {2}$。
∴原方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-1$，$x_{3}=\sqrt {2},x_{4}=-\sqrt {2}$。

答案： 解:
(1) 换元
(2)$(x^{2}+3)^{2}-9(x^{2}+3)+20=0$。
设$x^{2}+3=y$，
则原方程可化为$y^{2}-9y+20=0$。
解得$y_{1}=4,y_{2}=5$。
当$y=4$时，$x^{2}+3=4$。
$\therefore x^{2}=1$。
$\therefore x=\pm 1$。
当$y=5$时，$x^{2}+3=5$。
$\therefore x^{2}=2$。
$\therefore x=\pm \sqrt {2}$。
∴原方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-1$，$x_{3}=\sqrt {2},x_{4}=-\sqrt {2}$。