《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

9. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0,a,b,c$为常数)的图象如图,则方程$ax^{2}+bx+c= m$有实数根的条件是(A)

A. $m≥-2$
B. $m≥5$
C. $m≥0$
D. $m＞4$

答案： A

10. 已知抛物线$y= ax^{2}-2ax+c$与x轴的一个交点坐标为$(3,0)$,则与x轴的另一个交点坐标为______$(-1,0)$.
变式 若抛物线的顶点坐标为$(2,9)$,且它在x轴上截得的线段长为6,则该抛物线与x轴的两个交点的坐标为______$(-1,0)$，$(5,0)$.

答案： $(-1,0)$ [变式]$(-1,0)$，$(5,0)$

11. (2025福州杨桥中学月考)已知抛物线$y= x^{2}-(2m-1)x+m^{2}-m$.
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线$y= x-3m+3$的一个交点在y轴上,求m的值.-3或1

答案：
(1)略
(2)$-3$或1

12. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx-4(a≠0)$经过A,B,C三点.已知点B的坐标为$(-1,0)$,且$OA= 4OB$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,过点P作$PD⊥AC$于点D,当PD的值最大时,求PD的最大值及此时点P的坐标.

答案：
解：
(1)
∵点B的坐标为$(-1,0)$，
∴$OB=1$．
∵$OA=4OB$，
∴$OA=4$．
∴$A(4,0)$．
当$x=0$时，$y=-4$，
∴$C(0,-4)$．
将点$A(4,0)$，$B(-1,0)$分别代入$y=ax^{2}+bx-4(a\neq0)$，得
$\begin{cases}16a + 4b - 4 = 0,\\a - b - 4 = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -3.\end{cases}$
∴该抛物线的函数解析式为$y = x^{2}-3x - 4$．
(2)设直线AC的函数解析式为$y = kx + t(k\neq0)$．
将点$A(4,0)$，$C(0,-4)$分别代入，得
$\begin{cases}0 = 4k + t,\\-4 = t.\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1,\\t = -4.\end{cases}$
∴直线AC的函数解析式为$y = x - 4$．
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H．

∵$OA = OC = 4$，
∴$\angle OAC = \angle OCA = 45^{\circ}$．
∵$PH// y$轴，
∴$\angle PHD = \angle OCA = 45^{\circ}$．
∴$PD = HD$．
由$PD^{2}+HD^{2}=PH^{2}$，得$PD = \frac{\sqrt{2}}{2}PH$．
设点$P(m,m^{2}-3m - 4)$，
则点$H(m,m - 4)$．
∴$PD=\frac{\sqrt{2}}{2}(m - 4 - m^{2}+3m + 4)$
$=-\frac{\sqrt{2}}{2}m^{2}+2\sqrt{2}m$
$=-\frac{\sqrt{2}}{2}(m - 2)^{2}+2\sqrt{2}$．
∵$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，
∴当$m = 2$时，$PD$有最大值，其最大值为$2\sqrt{2}$，此时点$P(2,-6)$．