《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$AC$边上的点,且$DE // BC$。若$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{四边形BCED}}= \frac{4}{5}$,$AD = 2$,求$BD$的长为1。

答案： 1

9. 如果两个相似三角形的周长之比为$5:7$,那么这两个三角形的面积之比为(C)
A. $5:7$
B. $7:5$
C. $25:49$
D. $49:25$

答案： C

10. 如图,$E是□ ABCD的边BC$的延长线上一点,若$CF = 2$,$\frac{S_{\triangle FCE}}{S_{\triangle ABE}}= \frac{1}{9}$,则$DF= $______4。

答案： 4

11. (教材$P_{43}T_{12}$改编)如图,平行于$BC的直线DE把\triangle ABC$分成面积相等的两部分,且点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,求$\frac{BD}{AD}$的值为$\sqrt{2}-1$。

答案： $\sqrt{2}-1$

12. (教材$P_{58}T_{11}$改编)如图,$\triangle ABC$是一块锐角三角形材料,边$BC = 120$,高$AD = 80$,要把它加工成矩形零件$EFGH$,使矩形的一边$GH在BC$上,其余两个顶点$E$,$F分别在AC$,$AB$上。
(1) 求证：$EF:BC = AM:AD$；
证明：由题意，得 $AD \perp BC$。
∵ 四边形 $EFGH$ 是矩形，
∴ $EF // CB$。
∴ $\triangle AEF \backsim \triangle ACB$，$AD \perp EF$。
∴ $EF:BC = AM:AD$。
(2) 设$EF = x$,$EH = y$,用含$x的代数式表示y$；
解：由(1)，得 $\frac{EF}{BC} = \frac{AM}{AD}$，
即 $\frac{x}{120} = \frac{80 - y}{80}$。
解得 $y = $$-\frac{2}{3}x + 80$。
(3) 设矩形$EFGH的面积是S$,求当$x$为何值时,$S$有最大值。
解：$S = EF \cdot EH$
$= x \cdot (-\frac{2}{3}x + 80)$
$= -\frac{2}{3}x^2 + 80x$。
∴ 当 $x = $$60$时，$S$ 有最大值。

答案： 解：
(1) 证明：由题意，得 $AD \perp BC$。
∵ 四边形 $EFGH$ 是矩形，
∴ $EF // CB$。
∴ $\triangle AEF \backsim \triangle ACB$，$AD \perp EF$。
∴ $EF:BC = AM:AD$。
(2) 由
(1)，得 $\frac{EF}{BC} = \frac{AM}{AD}$，
即 $\frac{x}{120} = \frac{80 - y}{80}$。
解得 $y = -\frac{2}{3}x + 80$。
(3) $S = EF \cdot EH$
$= x \cdot (-\frac{2}{3}x + 80)$
$= -\frac{2}{3}x^2 + 80x$。
∴ 当 $x = -\frac{b}{2a} = 60$ 时，$S$ 有最大值。